我的一个朋友正在面试一份工作。其中一个面试问题让我思考，只是想要一些反馈。
有 2 个非负整数：i 和 j。给定以下等式，找到一个（最佳）解决方案来迭代 i 和 j，从而对输出进行排序。
2^i * 5^j
所以前几轮看起来像这样：
2^0 * 5^0 = 1
2^1 * 5^0 = 2
2^2 * 5^0 = 4
2^0 * 5^1 = 5
2^3 * 5^0 = 8
2^1 * 5^1 = 10
2^4 * 5^0 = 16
2^2 * 5^1 = 20
2^0 * 5^2 = 25
尽我所能，我看不到模式。你的意见？
Dijkstra 在“A Discipline of Programming”中得出了一个雄辩的解决方案。他将问题归咎于海明。这是我对 Dijkstra 解决方案的实现。
int main()
{
const int n = 20; // Generate the first n numbers
std::vector<int> v(n);
v[0] = 1;
int i2 = 0; // Index for 2
int i5 = 0; // Index for 5
int x2 = 2 * v[i2]; // Next two candidates
int x5 = 5 * v[i5];
for (int i = 1; i != n; ++i)
{
int m = std::min(x2, x5);
std::cout << m << " ";
v[i] = m;
if (x2 == m)
{
++i2;
x2 = 2 * v[i2];
}
if (x5 == m)
{
++i5;
x5 = 5 * v[i5];
}
}
std::cout << std::endl;
return 0;
}
这是一种更精致的方法（比我之前的答案更精致，即）：
想象数字被放置在一个矩阵中：
0 1 2 3 4 5 -- this is i
----------------------------------------------
0| 1 2 4 8 16 32
1| 5 10 20 40 80 160
2| 25 50 100 200 400 800
3| 125 250 500 1000 2000 ...
4| 625 1250 2500 5000 ...
j on the vertical
你需要做的是“走”这个矩阵，从(0,0). 您还需要跟踪您可能的下一步行动。当你开始时，(0,0)你只有两个选择：要么(0,1)或(1,0)：因为值(0,1)更小，你选择它。然后为您的下一个选择(0,2)或(1,0). 到目前为止，您有以下列表：1, 2, 4. 您的下一步是(1,0)因为那里的值小于(0,3)。但是，您现在有三个选择可供您的下一步行动：要么(0,3)、 或(1,1)、 要么(2,0)。
您不需要矩阵来获取列表，但您确实需要跟踪所有选择（即当您达到 125+ 时，您将有 4 个选择）。
使用最小堆。
放1。
提取分钟。假设你得到 x。
将 2x 和 5x 推入堆中。
重复。
您可以存储 (i,j) 并使用自定义比较函数，而不是存储 x = 2^i * 5^j。
基于 FIFO 的解决方案需要较少的存储容量。Python 代码。
F = [[1, 0, 0]] # FIFO [value, i, j]
i2 = -1; n2 = n5 = None # indices, nexts
for i in range(1000): # print the first 1000
last = F[-1][:]
print "%3d. %21d = 2^%d * 5^%d" % tuple([i] + last)
if n2 <= last: i2 += 1; n2 = F[i2][:]; n2[0] *= 2; n2[1] += 1
if n5 <= last: i2 -= 1; n5 = F.pop(0); n5[0] *= 5; n5[2] += 1
F.append(min(n2, n5))
输出：
0. 1 = 2^0 * 5^0
1. 2 = 2^1 * 5^0
2. 4 = 2^2 * 5^0
...
998. 100000000000000000000 = 2^20 * 5^20
999. 102400000000000000000 = 2^27 * 5^17
O(n)这在函数式语言中很容易做到。数字列表可以简单地定义l为然后合并。这是它在 Haskell 中的样子：2^i*5^j12*l5*l
merge :: [Integer] -> [Integer] -> [Integer]
merge (a:as) (b:bs)
| a < b = a : (merge as (b:bs))
| a == b = a : (merge as bs)
| b > a = b : (merge (a:as) bs)
xs :: [Integer]
xs = 1 : merge (map(2*)xs) (map(5*)xs)
该merge函数在恒定时间内为您提供一个新值。如此map，因此也如此l。
您必须跟踪它们的各个指数，以及它们的总和是多少
所以你f(0,0) --> 1
现在开始你必须增加其中之一：
f(1,0) = 2
f(0,1) = 5
所以我们知道 2 是下一个 - 我们也知道我们可以增加 i 的指数直到总和超过 5。
你一直这样来回走动，直到达到你想要的轮数。
使用动态编程，您可以在 O(n) 中做到这一点。基本事实是，i 和 j 的任何值都不能给我们 0，要得到 1，两个值都必须为 0；
TwoCount[1] = 0
FiveCount[1] = 0
// function returns two values i, and j
FindIJ(x) {
if (TwoCount[x / 2]) {
i = TwoCount[x / 2] + 1
j = FiveCount[x / 2]
}
else if (FiveCount[x / 5]) {
i = TwoCount[x / 2]
j = FiveCount[x / 5] + 1
}
}
每当您调用此函数时，检查 i 和 j 是否已设置，如果它们不为空，则填充TwoCount并FiveCount
C++ 答案。抱歉编码风格不好，但我很着急:(
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
int * TwoCount;
int * FiveCount;
using namespace std;
void FindIJ(int x, int &i, int &j) {
if (x % 2 == 0 && TwoCount[x / 2] > -1) {
cout << "There's a solution for " << (x/2) << endl;
i = TwoCount[x / 2] + 1;
j = FiveCount[x / 2];
} else if (x % 5 == 0 && TwoCount[x / 5] > -1) {
cout << "There's a solution for " << (x/5) << endl;
i = TwoCount[x / 5];
j = FiveCount[x / 5] + 1;
}
}
int main() {
TwoCount = new int[200];
FiveCount = new int[200];
for (int i = 0; i < 200; ++i) {
TwoCount[i] = -1;
FiveCount[i] = -1;
}
TwoCount[1] = 0;
FiveCount[1] = 0;
for (int output = 2; output < 100; output++) {
int i = -1;
int j = -1;
FindIJ(output, i, j);
if (i > -1 && j > -1) {
cout << "2^" << i << " * " << "5^"
<< j << " = " << output << endl;
TwoCount[output] = i;
FiveCount[output] = j;
}
}
}
显然，您可以使用数组以外的数据结构来动态增加存储空间等。这只是证明它有效的草图。
为什么不尝试从另一个方向看这个。使用计数器根据原始公式测试可能的答案。抱歉伪代码。
for x = 1 to n
{
i=j=0
y=x
while ( y > 1 )
{
z=y
if y divisible by 2 then increment i and divide y by 2
if y divisible by 5 then increment j and divide y by 5
if y=1 then print i,j & x // done calculating for this x
if z=y then exit while loop // didn't divide anything this loop and this x is no good
}
}
这是 OEIS 的相关条目。
似乎可以通过生成前几个术语来获得有序序列，比如
1 2 4 5
然后，从第二项开始，乘以 4 和 5 得到接下来的两项
1 2 4 5 8 10
1 2 4 5 8 10 16 20
1 2 4 5 8 10 16 20 25
等等...
直觉上，这似乎是正确的，但当然缺少证据。
你知道 log_2(5)=2.32。由此我们注意到 2^2 < 5 和 2^3 > 5。
现在看一个可能答案的矩阵：
j/i 0 1 2 3 4 5
0 1 2 4 8 16 32
1 5 10 20 40 80 160
2 25 50 100 200 400 800
3 125 250 500 ...
现在，对于这个例子，按顺序选择数字。订购将是：
j/i 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 5 7 10
1 4 6 8 11 14 18
2 9 12 15 19 23 27
3 16 20 24...
请注意，每一行在开始它的行后面开始 2 列。例如，i=0 j=1 直接出现在 i=2 j=0 之后。
因此，我们可以从这种模式推导出的算法是（假设 j>i）：
int i = 2;
int j = 5;
int k;
int m;
int space = (int)(log((float)j)/log((float)i));
for(k = 0; k < space*10; k++)
{
for(m = 0; m < 10; m++)
{
int newi = k-space*m;
if(newi < 0)
break;
else if(newi > 10)
continue;
int result = pow((float)i,newi) * pow((float)j,m);
printf("%d^%d * %d^%d = %d\n", i, newi, j, m, result);
}
}
注意：此处的代码将 i 和 j 的指数值限制为小于 10。您可以轻松扩展此算法以适应任何其他任意范围。
注意：对于前 n 个答案，此算法的运行时间为 O(n)。
注意：此算法的空间复杂度为 O(1)
我的实现基于以下想法：
例子：
Start with 1 and 1 (to handle i=0;j=0 case):
Q2: 1
Q5: 1
Dequeue 1, print it and enqueue 1*2 and 1*5:
Q2: 2
Q5: 5
Pick 2 and add 2*2 and 2*5:
Q2: 4
Q5: 5 10
Pick 4 and add 4*2 and 4*5:
Q2: 8
Q5: 5 10 20
....
Java中的代码：
public void printNumbers(int n) {
Queue<Integer> q2 = new LinkedList<Integer>();
Queue<Integer> q5 = new LinkedList<Integer>();
q2.add(1);
q5.add(1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int a = q2.peek();
int b = q5.peek();
int min = Math.min(a, b);
System.out.println(min);
if (min == a) {
q2.remove();
}
if (min == b) {
q5.remove();
}
q2.add(min * 2);
q5.add(min * 5);
}
}
计算结果并将它们与 和 的值一起放入排序列表i中j
Edsger Dijkstra (http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF) 的 user515430 实现的算法可能与你能得到的一样快。我称每个号码都是2^i * 5^j“特殊号码”的一种形式。现在 vlads 的答案将是O(i*j)使用双重算法，一个生成特殊数字O(i*j)，一个对它们进行排序（根据链接的文章也O(i*j).
但是让我们检查一下 Dijkstra 的算法（见下文）。在这种情况下n，是我们生成的特殊数字的数量，因此等于i*j。我们循环一次，1 -> n在每个循环中我们执行一个恒定的动作。所以这个算法也是O(i*j)。还有一个非常快的常数。
我在 C++ 中使用 GMP（C++ 包装器）实现，并且依赖于boost::lexical_cast，尽管可以轻松删除（我很懒，谁不使用 Boost？）。编译g++ -O3 test.cpp -lgmpxx -o test。在 Q6600 上，Ubuntu 10.10time ./test 1000000提供1145ms.
#include <iostream>
#include <boost/lexical_cast.hpp>
#include <gmpxx.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
mpz_class m, x2, x5, *array, r;
long n, i, i2, i5;
if (argc < 2) return 1;
n = boost::lexical_cast<long>(argv[1]);
array = new mpz_class[n];
array[0] = 1;
x2 = 2;
x5 = 5;
i2 = i5 = 0;
for (i = 1; i != n; ++i) {
m = std::min(x2, x5);
array[i] = m;
if (x2 == m) {
++i2;
x2 = 2 * array[i2];
}
if (x5 == m) {
++i5;
x5 = 5 * array[i5];
}
}
delete [] array;
std::cout << m << std::endl;
return 0;
}
如果您绘制一个以 i 为行、j 为列的矩阵，您可以看到该模式。从 i = 0 开始，然后向上移动 2 行并向右 1 列遍历矩阵，直到到达矩阵的顶部 (j >= 0)。然后去 i + 1 等...
因此，对于 i = 7，您将像这样旅行：
7, 0 -> 5, 1 -> 3, 2 -> 1, 3
对于 i = 8：
8, 0 -> 6, 1 -> 4, 2 -> 2, 3 -> 0, 4
在这里，它在 Java 中上升到 i = 9。它打印矩阵位置 (i, j) 和值。
for(int k = 0; k < 10; k++) {
int j = 0;
for(int i = k; i >= 0; i -= 2) {
int value = (int)(Math.pow(2, i) * Math.pow(5, j));
System.out.println(i + ", " + j + " -> " + value);
j++;
}
}
我的直觉：
如果我将初始值设为 1，其中 i=0，j=0，那么我可以创建下一个数字为 (2^1) (5^0), (2^2) (5^0), (2^0) *(5^1), ... 即 2,4,5 ..
假设在任何时候我的号码是 x。然后我可以通过以下方式创建下一个数字：
说明：
Since new numbers can only be the product with 2 or 5.
But 4 (pow(2,2)) is smaller than 5, and also we have to generate
Numbers in sorted order.Therefore we will consider next numbers
be multiplied with 2,4,5.
Why we have taken x*4 ? Reason is to pace up i, such that it should not
be greater than pace of j(which is 5 to power). It means I will
multiply my number by 2, then by 4(since 4 < 5), and then by 5
to get the next three numbers in sorted order.
测试运行
We need to take an Array-list of Integers, let say Arr.
Also put our elements in Array List<Integers> Arr.
Initially it contains Arr : [1]
让我们从 x = 1 开始。
接下来的三个数字是 1*2, 1*4, 1*5 [2,4,5]；Arr[1,2,4,5]
现在 x = 2
接下来的三个数字是 [4,8,10] {由于 4 已经出现，我们将忽略它} [8,10]; Arr[1,2,4,5,8,10]
现在 x =4
接下来的三个数字 [8,16,20] {8 已经发生忽略它} [16,20] Arr[1,2,4,5,8,10,16,20]
x = 5
接下来的三个数字 [10,20,25] {10,20} 已经添加了 [25] Arr[1,2,4,5,8,10,16,20,25]
终止条件
Terminating condition when Arr last number becomes greater
than (5^m1 * 2^m2), where m1,m2 are given by user.
分析
Time Complexity : O(K) : where k is numbers possible between i,j=0 to
i=m1,j=m2.
Space Complexity : O(K)
只是很好奇下周会发生什么，并发现了这个问题。
我认为，这个想法是 2^i 不会像 5^j 那样大步增加。因此，只要下一个 j 步不会更大，就增加 i。
C++ 中的示例（Qt 是可选的）：
QFile f("out.txt"); //use output method of your choice here
f.open(QIODevice::WriteOnly);
QTextStream ts(&f);
int i=0;
int res=0;
for( int j=0; j<10; ++j )
{
int powI = std::pow(2.0,i );
int powJ = std::pow(5.0,j );
while ( powI <= powJ )
{
res = powI * powJ;
if ( res<0 )
break; //integer range overflow
ts<<i<<"\t"<<j<<"\t"<<res<<"\n";
++i;
powI = std::pow(2.0,i );
}
}
输出：
i j 2^i * 5^j
0 0 1
1 1 10
2 1 20
3 2 200
4 2 400
5 3 4000
6 3 8000
7 4 80000
8 4 160000
9 4 320000
10 5 3200000
11 5 6400000
12 6 64000000
13 6 128000000
14 7 1280000000
这是我的解决方案
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N_VALUE 5
#define M_VALUE 5
int n_val_at_m_level[M_VALUE];
int print_lower_level_val(long double val_of_higher_level, int m_level)
{
int n;
long double my_val;
for( n = n_val_at_m_level[m_level]; n <= N_VALUE; n++) {
my_val = powl(2,n) * powl(5,m_level);
if(m_level != M_VALUE && my_val > val_of_higher_level) {
n_val_at_m_level[m_level] = n;
return 0;
}
if( m_level != 0) {
print_lower_level_val(my_val, m_level - 1);
}
if(my_val < val_of_higher_level || m_level == M_VALUE) {
printf(" %Lf n=%d m = %d\n", my_val, n, m_level);
} else {
n_val_at_m_level[m_level] = n;
return 0;
}
}
n_val_at_m_level[m_level] = n;
return 0;
}
main()
{
print_lower_level_val(0, M_VALUE); /* to sort 2^n * 5^m */
}
结果 ：
1.000000 n = 0 m = 0
2.000000 n = 1 m = 0
4.000000 n = 2 m = 0
5.000000 n = 0 m = 1
8.000000 n = 3 m = 0
10.000000 n = 1 m = 1
16.000000 n = 4 m = 0
20.000000 n = 2 m = 1
25.000000 n = 0 m = 2
32.000000 n = 5 m = 0
40.000000 n = 3 m = 1
50.000000 n = 1 m = 2
80.000000 n = 4 m = 1
100.000000 n = 2 m = 2
125.000000 n = 0 m = 3
160.000000 n = 5 m = 1
200.000000 n = 3 m = 2
250.000000 n = 1 m = 3
400.000000 n = 4 m = 2
500.000000 n = 2 m = 3
625.000000 n = 0 m = 4
800.000000 n = 5 m = 2
1000.000000 n = 3 m = 3
1250.000000 n = 1 m = 4
2000.000000 n = 4 m = 3
2500.000000 n = 2 m = 4
3125.000000 n = 0 m = 5
4000.000000 n = 5 m = 3
5000.000000 n = 3 m = 4
6250.000000 n = 1 m = 5
10000.000000 n = 4 m = 4
12500.000000 n = 2 m = 5
20000.000000 n = 5 m = 4
25000.000000 n = 3 m = 5
50000.000000 n = 4 m = 5
100000.000000 n = 5 m = 5
我知道我可能错了，但这里有一个非常简单的启发式，因为它不涉及像 2、3、5 这样的许多数字。我们知道对于任何 i,j 2^i * 5^j 下一个序列将是 2^(i-2) * 5^(j+1)。作为一个 google q，它必须有一个简单的解决方案。
def func(i, j):
print i, j, (2**i)*(5**j)
imax=i=2
j=0
print "i", "j", "(2**i)*(5**j)"
for k in range(20):
func(i,j)
j=j+1; i=i-2
if(i<0):
i = imax = imax+1
j=0
这产生输出为：
i j (2**i)*(5**j)
2 0 4
0 1 5
3 0 8
1 1 10
4 0 16
2 1 20
0 2 25
5 0 32
3 1 40
1 2 50
6 0 64
4 1 80
2 2 100
0 3 125
7 0 128
5 1 160
3 2 200
1 3 250
8 0 256
6 1 320
如果你看看当我们在表达式中增加 i 或 j 时实际发生的事情2^i * 5^j，你要么乘以另一个 2 或另一个 5。如果我们将问题重述为 - 给定 i 和 j 的特定值，你将如何找到下一个值越大，解决方案就越明显。
以下是我们可以非常直观地列举的规则：
i > 1)，我们应该将它们替换为 5 以获得下一个最大的数字。因此，i -= 2和j += 1。j > 0)，我们需要用三个 2 替换它。所以j -= 1和i += 3。i += 1.这是 Ruby 中的程序：
i = j = 0
20.times do
puts 2**i * 5**j
if i > 1
j += 1
i -= 2
elsif j > 0
j -= 1
i += 3
else
i += 1
end
end
如果我们被允许使用 java Collection，那么我们可以在 O(n^2) 中获得这些数字
public static void main(String[] args) throws Exception {
int powerLimit = 7;
int first = 2;
int second = 5;
SortedSet<Integer> set = new TreeSet<Integer>();
for (int i = 0; i < powerLimit; i++) {
for (int j = 0; j < powerLimit; j++) {
Integer x = (int) (Math.pow(first, i) * Math.pow(second, j));
set.add(x);
}
}
set=set.headSet((int)Math.pow(first, powerLimit));
for (int p : set)
System.out.println(p);
}
这里 powerLimit 必须非常小心地初始化！取决于你想要多少个数字。
这是我对 Scala 的尝试：
case class IndexValue(twosIndex: Int, fivesIndex: Int)
case class OutputValues(twos: Int, fives: Int, value: Int) {
def test(): Boolean = {
Math.pow(2, twos) * Math.pow(5, fives) == value
}
}
def run(last: IndexValue = IndexValue(0, 0), list: List[OutputValues] = List(OutputValues(0, 0, 1))): List[OutputValues] = {
if (list.size > 20) {
return list
}
val twosValue = list(last.twosIndex).value * 2
val fivesValue = list(last.fivesIndex).value * 5
if (twosValue == fivesValue) {
val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex + 1)
val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
run(lastIndex, list :+ outputValues)
} else if (twosValue < fivesValue) {
val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex + 1, last.fivesIndex)
val outputValues = OutputValues(value = twosValue, twos = list(last.twosIndex).twos + 1, fives = list(last.twosIndex).fives)
run(lastIndex, list :+ outputValues)
} else {
val lastIndex = IndexValue(last.twosIndex, last.fivesIndex + 1)
val outputValues = OutputValues(value = fivesValue, twos = list(last.fivesIndex).twos, fives = list(last.fivesIndex).fives + 1)
run(lastIndex, list :+ outputValues)
}
}
val initialIndex = IndexValue(0, 0)
run(initialIndex, List(OutputValues(0, 0, 1))) foreach println
OutputValues(0,0,1)
OutputValues(1,0,2)
OutputValues(2,0,4)
OutputValues(0,1,5)
OutputValues(3,0,8)
OutputValues(1,1,10)
OutputValues(4,0,16)
OutputValues(2,1,20)
OutputValues(0,2,25)
OutputValues(5,0,32)
OutputValues(3,1,40)
OutputValues(1,2,50)
OutputValues(6,0,64)
OutputValues(4,1,80)
OutputValues(2,2,100)
OutputValues(0,3,125)
OutputValues(7,0,128)
OutputValues(5,1,160)
OutputValues(3,2,200)
OutputValues(1,3,250)
OutputValues(8,0,256)