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我是一名经验丰富的Matlab程序员，但我不知道如何解决这个（看似）简单的问题。我有一个由 5 个方程和 5 个未知数组成的系统：

系统

当不涉及代数方程时，我知道如何使用 ode45 求解 ODE 。在上述系统中，V（速度）和C（加速度）都是常数且已知的。 C 为航天器横向加速度。

这个问题应该解决如下：

  1. 在 t=0 时，我们知道 Theta(0)、x(0) 和 y(0)。请记住，V 和 C 都是常数且已知的。
  2. 给定 Theta(0) 和 C/V，我们得到 Theta(t1) 积分第 4 个方程。有了这个新的 Theta 值，我们应该能够计算新的 Vx(t1) 和 Vy(t1)，这将为我们提供 x(t1) 和 y(t2) 的新值。
  3. 重复

使用 Matlab 的 ODE45 解决问题很重要，因为当我添加风、不同的重力和密度、航天器的质量和几何形状（以及惯性等等！）时，它最终会变得非常难以解决。所以我会得到一个由几十个方程组成的系统，它们都将被耦合。如果我知道如何在 Matlab 中解决这个简单的问题，我将了解如何在未来解决更复杂的问题。

我搜索了互联网以寻求帮助，但徒劳无功。非常感激您的帮忙。

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使用更正后的系统，您只需集成 3 个状态变量

function dotu = f(t,u)
    theta = y(1); 
    dotu = [ C/V, -V*cos(theta), V*sin(theta) ];
end

然后您可以直接将其插入求解器

[ T,U ] = ode45(f, [t0, tf], [ theta0, x0, y0])

为初始条件和积分结束使用适当的值。

于 2019-02-09T18:19:48.420 回答
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在我看来，您的系统在某种意义上是未确定的，因为 y_1 不受您的方程的约束，除非它必须是正数。至于系统的其余部分，它实际上是解耦的。这是我的做法：

1) 第一个方程意味着 y_1 是正数。考虑到这一点，如果您在第一个等式中替换 y_2 和 y_3，您将获得恒等式 y_1=y_1。所以这个点 y_1 可以是时间的任何函数，只受在 t=0 时满足初始条件的约束。在下文中，我将假设它是一个时间常数。

2) 根据该规定，C/y_1 是任意常数，我们称其为 B，由此得出 y_4= Bt + y0_4，y0_4 为积分常数。

3) 将 y_2 代入第 5 个等式，将 y_3 代入第 6 个等式。现在您有两个具有时间相关 rhs 的 ODE 方程非常简单，可以解析求解。例如，最后一个方程给出 y_6=-y_1/B cos(Bt+y0_4)+y0_6。

更一般地，假设您有一个不受约束的问题。然后，您总是可以对代数方程进行时间微分，并获得 ODE 的耦合系统。

作为最后的评论，我想说，在急于使用 Matlab（或 Python，或 R，或 C++，......）之前，用纸和铅笔来解决问题，看看它是否可以简化总是一件好事，或者像上面的情况，它可以被解决。

于 2019-02-09T14:17:36.403 回答