我正在经历一些与基于 CRC 生成器的单位错误检测相关的问题，并试图分析哪个生成器检测到单位错误，哪些没有。
假设，如果我有一个 CRC 生成多项式为 x 4 + x 2。现在我想知道它是否保证检测到单位错误？
1) 如果 k=1,2,3 用于误差多项式 x k，则余数将分别为 x,x 2 ,x 3在由生成多项式 x 4 + x 2进行多项式除法的情况下，并且根据参考资料，如果生成有多个项且 x 0的系数为 1，则可以捕获所有单比特错误。但它并没有说如果 x 的系数0的系数不为 1 则不能检测到单位错误。这就是说“在循环代码中，那些可被 g(x) 整除的 e(x) 错误不会被捕获。”
2) 我必须检查 E(x)/g(x) 的余数，其中 E(x)（假设是 x k）其中 k=1,2,3,... 是误差多项式，g( x) 是生成多项式。如果余数为零，则我无法检测到错误，当它为非零时，我可以检测到它。
所以，根据我的说法，生成多项式x 4 +x 2保证了基于以上2点的单比特错误检测。请确认我是否正确。
如果 x 0的系数不为 1，那么无法检测到单位错误？
如果 x 0的系数不为 1，则与将 CRC 多项式左移 1（或更多）位（乘以 x 的某个幂）相同。将 CRC 多项式左移 1 位或更多位不会影响其检测错误的能力，它只是将 1 个或更多零位附加到代码字的末尾。
生成多项式 x 4 + x 2保证单位错误的检测
正确的。x 4 + x 2是 x 2 + 1 左移两位， x 4 + x 2 = (x 2 ) (x 2 + 1) = (x 2 ) (x + 1) (x + 1) ，并且由于 x 2 + 1 可以检测任何单个位错误，然后 x 4 + x 2也可以。此外，使用 (x + 1) 项（其中两个），它添加了偶校验，并且可以检测任何奇数位错误。
通常，无论消息长度如何，所有 CRC 多项式都可以检测单个位错误。所有 CRC 多项式都有一个“循环”周期：如果您使用 CRC 多项式作为线性反馈移位寄存器的基础, 初始值为 000...0001，然后经过固定的循环次数，将循环回到 000...0001。CRC 最简单的故障是出现 2 位错误，其中 2 位之间的距离等于循环周期。假设一个 8 位 CRC（9 位多项式）的周期是 255，那么一个 2 位错误，一个在 bit[0] 和一个在 bit[255] 将导致 CRC = 0，并且无法检测到，这单个位错误不会发生，它将继续经历周期，其中不包括值 0。如果周期为 n 个周期，则如果消息中的位数为 2 位错误，则不会发生 2 位错误+ CRC <= n。作为任何多项式时间 (x + 1) 的乘积的所有 CRC 多项式都可以检测任何奇数个比特错误（因为 x + 1 本质上是添加偶校验）。
将 CRC 多项式左移位z意味着每个码字都将具有z尾随零位。在某些情况下会这样做。假设您有一个快速的 32 位 CRC 算法。为了将该算法用于 16 位 CRC，将 17 位 CRC 多项式左移 16 位，以便最低有效非零项为 x 16。使用 32 位 CRC 算法计算后，将 32 位 CRC 右移 16 位，生成 16 位 CRC。