我很难理解以下内容：
Scikit-learn 为 Ridge Regression 提供了多输出版本，只需传递一个 2D 数组 [n_samples, n_targets]，但它是如何实现的呢？
http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.Ridge.html
假设每个目标的每个回归都是独立的是否正确？在这些情况下，我如何调整它以对每个回归使用单独的 alpha 正则化参数？如果我使用 GridSeachCV，我将不得不交出一个可能的正则化参数矩阵，或者这将如何工作？
在此先感谢-我一直在搜索几个小时，但找不到有关此主题的任何内容。
我会试一试，因为我一直在为自己的工作进行一些研究。我会将问题分解为多个部分，因此您只能查看您感兴趣的部分：
Q1：多输出岭回归中每个目标（又名输出）的回归是否独立？
A1：我认为典型的 M 个输出的多输出线性回归与M 个独立的单输出线性回归是一样的。我认为是这种情况，因为多重输出案例的普通最小二乘表达式与 M 个独立的单输出案例（总和）的表达式相同。为了激发这一点，让我们考虑一个没有正则化的愚蠢的二元输出案例。
让我们考虑两个列向量输入 x 1和x 2，以及相应的权重向量w 1和w 2。
这些给了我们两个单变量 输出，y 1 = x 1 w 1 T + e 1和 y 2 = x 2 w 2 T + e 2，其中 es 是独立误差。
误差平方和写成：
e 1 2 + e 2 2 = (y 1 - x 1 w 1 T ) 2 + (y 2 - x 2 w 2 T ) 2
我们可以看到这只是两个独立回归的平方误差之和。现在，为了优化，我们区分权重并将其设置为零。由于 y 1不依赖于w 2 ，对于 y 2和w 1反之亦然，因此可以针对每个目标独立地进行优化。
我在这里考虑了一个示例以进行说明，但更多示例没有太大变化。你可以自己写出来。在表格中添加惩罚项 | w 1 | 或 | w 2 | 也不会改变这一点，因为w 2仍然不依赖于 y 1，反之亦然 y 2和w 1。
好的，这就是能让你获得 C- 的证明（有一位慷慨的教授）。就这反映 sklearn 而言，手动实现独立回归和内置的多输出支持将给出相同的结果。所以让我们用一些代码来检查一下（我正在使用带有 Jupyter 的 py2.7）：
我们需要的东西
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import linear_model, model_selection
设置数据
## set up some test data
# T samples, K features, M outputs (aka targets)
T = 1000
K = 100
M = 500
#get the samples from independent, multivariate normal
means_X = np.zeros(K)
cov_X = np.identity(K)
X = np.random.multivariate_normal(means_X,cov_X,T)
#Make up some random weights.
#Here I use an exponential form since that means some would be quite small, and thus regularization is likely to help
#However for the purposes of the example it doesn't really matter
#exponential weights
W = 2.0 ** np.random.randint(-10,0,M * K)
#shape into a weight matrix correctly
W = W.reshape((K,M))
# get the ouput - apply linear transformation
Y = np.matmul(X, W)
# add a bit of noise to the output
noise_level = 0.1
noise_means = np.zeros(M)
noise_cov = np.identity(M)
Y_nse = Y + noise_level * np.random.multivariate_normal(noise_means,noise_cov,T)
# Start with one alpha value for all targets
alpha = 1
使用 sklearn 内置的多输出支持
#%%timeit -n 1 -r 1
# you can uncomment the above to get timming but note that this runs on a seperate session so
# the results won't be available here
## use built in MIMO support
built_in_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alpha)
built_in_MIMO.fit(X, Y_nse)
为输出独立运行优化
# %%timeit -n 1 -r 1 -o
## manual mimo
manual_MIMO_coefs = np.zeros((K,M))
for output_index in range(M):
manual_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alpha)
manual_MIMO.fit(X, Y_nse[:,output_index])
manual_MIMO_coefs[:,output_index] = manual_MIMO.coef_
比较估计值（不包括图）
manual_MIMO_coefs_T = manual_MIMO_coefs.T
## check the weights. Plot a couple
check_these_weights = [0, 10]
plt.plot(built_in_MIMO.coef_[check_these_weights[0],:],'r')
plt.plot(manual_MIMO_coefs_T[check_these_weights[0],:], 'k--')
# plt.plot(built_in_MIMO.coef_[check_these_weights[1],:],'b')
# plt.plot(manual_MIMO_coefs_T[check_these_weights[1],:], 'y--')
plt.gca().set(xlabel = 'weight index', ylabel = 'weight value' )
plt.show()
print('Average diff between manual and built in weights is %f ' % ((built_in_MIMO.coef_.flatten()-manual_MIMO_coefs_T.flatten()) ** 2).mean())
## FYI, our estimate are pretty close to the orignal too,
plt.clf()
plt.plot(built_in_MIMO.coef_[check_these_weights[1],:],'b')
plt.plot(W[:,check_these_weights[1]], 'y--')
plt.gca().set(xlabel = 'weight index', ylabel = 'weight value' )
plt.legend(['Estimated', 'True'])
plt.show()
print('Average diff between manual and built in weights is %f ' % ((built_in_MIMO.coef_.T.flatten()-W.flatten()) ** 2).mean())
输出是（不包括这里的图）
Average diff between manual and built in weights is 0.000000
Average diff between manual and built in weights is 0.000011
所以我们看到内置的 sklearn 估计与我们的手动估计相同。然而，内置的更快，因为它使用矩阵代数来解决整个问题，这与我在这里使用的循环相反（关于 Ridge 正则化的矩阵公式，请参阅关于 Tikhonov 正则化的 wiki）。您可以通过取消注释上面的 %%timeit 魔法来自己检查）
Q2：我们如何为每个回归使用单独的 alpha 正则化参数？
A2：sklearn Ridge 对每个输出（目标）接受不同的正则化。例如继续上面的代码，为每个输出使用不同的 alpha：
# now try different alphas for each target.
# Simply randomly assign them between min and max range
min_alpha = 0
max_alpha = 50
alphas = 2.0 ** np.random.randint(min_alpha,max_alpha,M)
built_in_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alphas)
built_in_MIMO.fit(X, Y_nse)
如果将此与手动实现 M 个独立回归进行比较，每个回归都有自己的 alpha：
manual_MIMO_coefs = np.zeros((K,M))
for output_index in range(M):
manual_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alphas[output_index])
manual_MIMO.fit(X, Y_nse[:,output_index])
manual_MIMO_coefs[:,output_index] = manual_MIMO.coef_
你得到相同的结果：
manual_MIMO_coefs_T = manual_MIMO_coefs.T
## check the weights.
print('Average diff between manual and built in weights is %f ' % ((built_in_MIMO.coef_.flatten()-manual_MIMO_coefs_T.flatten()) ** 2).mean())
Average diff between manual and built in weights is 0.000000
所以这些都是一样的。
但是，在这种情况下，性能很大程度上取决于求解器（就像@Vivek Kumar 直觉的那样）。
默认情况下，Ridge.fit() 使用 Cholesky 分解（至少对于非稀疏数据），查看 github 上的代码（https://github.com/scikit-learn/scikit-learn/blob中的_solve_cholesky /master/sklearn/linear_model/ridge.py），我看到当为每个目标单独选择 alpha 时，sklearn 实际上确实分别适合它们。我不知道这是 Cholesky 固有的还是只是实现的东西（我感觉是后者）。
但是，对于不同的求解器，例如基于 SVD 的 (_solve_svd())，代码似乎已经将不同的 alpha 合并到问题的矩阵公式中，所以整个事情只运行一次。这意味着当为每个输出单独选择 alpha 并且有许多输出时，svd 求解器可以快得多。
Q3：如何使用 GridSeachCV？我是否交出一个可能的正则化参数矩阵？
A3：我没有使用内置的网格搜索，因为它不太适合我的问题。但是，通过上述说明，实现这一点很简单；只需使用 sklearn.model_selection.KFold() 或类似方法获得一些 CV 折叠，然后使用不同的 alpha 对每个折叠进行训练：
from sklearn import metrics, model_selection
# just two folds for now
n_splits = 2
#logarithmic grid
alphas = 2.0 ** np.arange(0,10)
kf = model_selection.KFold(n_splits=n_splits)
# generates some folds
kf.get_n_splits(X)
# we will keep track of the performance of each alpha here
scores = np.zeros((n_splits,alphas.shape[0],M))
#loop over alphas and folds
for j,(train_index, test_index) in enumerate(kf.split(X)):
for i,alpha in enumerate(alphas):
cv_MIMO = linear_model.Ridge(alpha = alpha)
cv_MIMO.fit(X[train_index,:], Y_nse[train_index,:])
cv_preds = cv_MIMO.predict(X[test_index,:])
scores[j,i,:] = metrics.r2_score(Y_nse[test_index,:], cv_preds, multioutput='raw_values')
## mean CV score
mean_CV_score = scores.mean(axis = 0)
# best alpha for each target
best_alpha_for_target = alphas[np.argmax(mean_CV_score,axis = 0)]
我写的很匆忙，所以请仔细检查。请注意，我们需要使用 metric 模块，因为内置的 Ridge.score() 对所有目标进行平均，我们不希望在这里。通过使用 multioutput='raw_values' 选项，我们保留每个目标的原始值。
希望有帮助！