我有一个一直困扰我的家庭作业问题。它要求您证明函数 Sum[log(i)*i^3, {i, n}) （即 log(i)*i^3 从 i=1 到 n 的总和）是 big-theta (log(n)*n^4)。
我知道 Sum[i^3, {i, n}] 是 ( (n(n+1))/2 )^2 并且 Sum[log(i), {i, n}) 是 log(n! )，但我不确定 1) 我是否可以将这两者分开处理，因为它们是总和中同一产品的一部分，以及 2) 如何开始将其转化为有助于我证明的形式。
任何帮助将非常感激。谢谢！
提示您的解决方案的一部分：您的左总和的最后两个和的总和有多大？
第二部分的提示：如果你用你的左边（总和）除以右边，你得到多少和？最大的有多大？
再次提示第一部分：在第一个表达式中找到从 n/2 到 n 的总和的简单较低估计值。
该系列看起来像这样 - log 1 + log 2 * 2^3 + log 3 * 3^3....（最多 n 项）其总和不收敛。所以如果我们整合它
积分到（1 到无穷大）[logn * n^3]（按部分积分）
你会得到 1/4*logn * n^4 - 1/16* (n^4)
很明显，主导项是 logn*n^4，因此它属于 Big Theta(log n * n^4)
您可以查看的另一种方式是-
该系列看起来像 log 1 + log2 * 8 + log 3 * 27......+ log n * n^3。您可以将 log n 视为具有最高值的项，因为所有对数函数都以相同的速度渐近增长，
您可以将上述系列视为 log n (1 + 2^3 + 3^3...)，即
日志 n [n^2 ( n + 1)^2]/4
假设 f(n) = log n * n^4 g(n) = log n [n^2 ( n + 1)^2]/4
您可以证明 f(n)/g(n) 的 lim (n 趋于 inf) 将是一个常数 [应用 L'Hopital 规则]
这是证明函数 g(n) 属于 Big Theta (f(n)) 的另一种方法。
希望有帮助。
尝试 BigO 极限定义并使用微积分。
对于微积分，您可能想使用一些计算机代数系统。
在下面的答案中，我已经展示了如何使用 Maxima Opensource CAS 做到这一点： 对数和幂的渐近复杂性