algorithm - 跟踪扩展数组的中位数

Question

面试题：

下面编辑 给你一个数组。你用它做了 2 个堆，一个 minheap 和另一个 max heap。现在使用这 2 个提供的堆在 O(nlog n) 时间内找到数组的中位数。

更正的问题 编号随机生成并存储到（扩展）数组中。您将如何跟踪中位数？

解决方案 这个问题可以使用 2 个堆来解决，并且总是可以在 O(1) 时间内访问中位数。

Answer 1

下面介绍如何使用这两个堆。请注意，我假设您不知道元素的数量，这就是为什么我们必须弹出直到我们从最小堆中弹出大于或等于从最大堆中弹出的东西的原因。请注意，我们返回平均值，因为在像{1, 2, 3, 4}中位数这样的集合的情况下，实际上是2.5（两个“中间”值的平均值）。我假设double为值类型，但这显然可以是任何东西。这里：

double min = minheap.pop();
double max = maxheap.pop();
while(min < max) {
    min = minheap.pop();
    max = maxheap.pop();
}

return (min + max) / 2;

由于弹出是O(log n)并且我们必须弹出O(n / 2)值，所以这是O(n log n).

Answer 2

java中的一个工作实现，使用2个堆，O(n log n)。在任何时候，我都会保持两个堆的大小平衡（即，如果我们输入了 n 个元素，使得 n%2==1，它们最多相差 1）。获得中位数是 O(1)。添加一个新元素是 O(log n)。

public class MedianOfStream {

    private int count;
    private PriorityQueue<Integer> highs, lows;

    public MedianOfStream() {
        highs = new PriorityQueue<Integer>(11, new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer arg0, Integer arg1) {
                return arg0.compareTo(arg1);
            }
        });
        lows = new PriorityQueue<Integer>(11, new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer arg0, Integer arg1) {
                return arg1.compareTo(arg0);
            }
        });
    }

    private int getMedian() {
        if (count == 0)
            return 0;
        if (lows.size() == highs.size()) {
            return (lows.peek() + highs.peek()) / 2;
        } else if (lows.size() < highs.size()) {
            return highs.peek();
        }
        return lows.peek();
    }

    private void swap(){
        int h = highs.poll();
        int l = lows.poll();
        highs.add(l);
        lows.add(h);
    }

    public int updateMedian(int n) {
        count++;

        if (count == 1)
            lows.add(n);

        else if (count==2) {
            highs.add(n);
            if(highs.peek()<lows.peek()) {
                swap(); // O(log n)
            }
        }

        else {
            if (n > highs.peek()) {
                lows.add(highs.poll()); // O(log n)
                highs.add(n); // O(log n)
            } else {
                highs.add(lows.poll()); // O(log n)
                lows.add(n); // O(log n)
            }
            if(highs.peek()<lows.peek()) {
                swap(); // O(log n)
            }
        }

        // if we added an even # of items,
        // the heaps must be exactly the same size,
        // otherwise we tolerate a 1-off difference

        if (Math.abs(lows.size() - highs.size()) > (count % 2)) {
            if (lows.size() < highs.size()) {
                lows.add(highs.poll()); // O(log n)
            } else {
                highs.add(lows.poll()); // O(log n)
            }
        }

        return getMedian(); // O(1)
    }
}

Answer 3

从堆中弹出是一个 O(log N) 操作，因此您可以通过从其中一个堆中弹出一半元素并获取最后一个弹出值来实现 O(N log N)（您必须处理边缘情况）。但是，这并没有利用其他堆。

您可以使用选择算法实现 O(N) ，但常数因子非常高。如果您已经有一个堆，前一个建议可能会更好。

Answer 4

使用两个堆的 JavaScript 解决方案：

function addNewNumber(minHeap, maxHeap, randomNumber) {
  if (maxHeap.size() === minHeap.size()) {
    if (minHeap.peek() && randomNumber > minHeap.peek()) {
      maxHeap.insert(minHeap.remove());
      minHeap.insert(randomNumber);
    } else {
      maxHeap.insert(randomNumber);
    }
  } else {
    if (randomNumber < maxHeap.peek()) {
      minHeap.insert(maxHeap.remove());
      maxHeap.insert(randomNumber);
    } else {
      minHeap.insert(randomNumber);
    }
  }
}

function getMedian(minHeap, maxHeap) {
  if (!maxHeap.size()) {
    return 0;
  }
  if (minHeap.size() === maxHeap.size()) {
    return (minHeap.peek() + maxHeap.peek()) / 2;
  } else {
    return maxHeap.peek();
  }
}