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我有兴趣在某些 CAS（单数、GAP、Sage 等）中定义以下多项式商环：

R = GF(256)[x] / (x^4 + 1)

具体来说，R是所有次数最多为 3 的多项式的集合，其系数属于 GF(256)。两个例子包括：

p(x) = {03}x^3 + {01}x^2 + {01}x + {02}
q(x) = {0B}x^3 + {0D}x^2 + {09}x + {0E}

加法和乘法被定义为每环定律。在这里，我提到它们是为了强调：

  • 加法：对应的系数是异或的（GF(256)中的加法法则）：

    p(x) + q(x) = {08}x^3 + {0C}x^2 + {08}x + {0C}

  • 乘法：多项式相乘（系数在 GF(256) 中相加和相乘）。结果以 x^4 + 1 为模计算：

    p(x) * q(x) = ({03}*{0B}x^6 + ... + {02}*{0E}) mod (x^4 + 1)
            = ({03}*{0B}x^6 + ... + {02}*{0E}) mod (x^4 + 1)
            = ({1D}x^6 + {1C}x^5 + {1D}x^4 + {00}x^3 + {1D}x^2 + {1C}x + {1C}) mod (x^4 + 1)
            = {01}

请告诉我如何R = GF(256)[x] / (x^4 + 1)在您选择的 CAS 中定义，并展示如何实现上述 p(x) 和 q(x) 之间的加法和乘法。

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