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我无法在谷歌中找到好的答案，或者我只是错过了正确的关键词。欢迎任何帮助或建议！

我的问题如下：我想计算某个点云覆盖的区域（二维）。我知道从数学上讲面积是 0，但我只能从正确的分布中提取样本点。另外我没有关于点云边界的任何信息，每个形状都是可能的，包括孔等。所以使用流形边界的算法不起作用？！。

由于我正在使用的函数是平滑的，我可以假设点之间的空间也属于我要计算的区域。

目前，我将空间划分为许多小盒子，并计算有多少盒子填充了一个或多个点。计数乘以盒子大小给了我一个面积。

有没有更优雅的解决方案？有任何想法吗？

谢谢托马斯

编辑：

我所做的是将高维点投影到低维嵌入。我可以确定高维空间中的点数，因此也可以确定形成我要计算的区域的低维空间中的点数。如果我增加点的数量，事实证明它们位于“旧”点之间，这就是我所说的平滑。给定某个点，我可以假设在该点附近的某个附近，如果我采样更密集，我将能够找到属于该区域的新点。

此外，我有一个阈值，在该阈值上我可以认为两点“相等”，或者换句话说，我知道我想要达到哪个结果。

编辑2：

我使用 GPLVM 进行从高维空间到低维空间的映射。所以我认为直接分析是两个困难/不可能。它们不是很直观，我认为在这种情况下直接使用二维点会更容易......

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一种选择是找到一组点的凸包，即包含所有点的凸多边形。一旦你有了多边形，你就可以找到覆盖的区域。

当然，这不会处理你的底层分布有漏洞的情况，在这种情况下，我想不出比你的盒子铺设变体更好的解决方案。

于 2011-01-11T13:09:41.550 回答
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有一种简单的统计方法（参见 Tuomi 和 Larjavaara, QJR Meteorol. Soc. (2005) 131, p. 1191, 附录）。一组合理规则的点（比如雷电下的雷击）的代表区域是 A = 12 Sx Sy sqrt(1 - R2)。标准差 Sx 和 Sy（乘以常数）定义了一个矩形，相关因子（R 是相关系数）说明了点有效覆盖了矩形的多大部分。这个结果在数学上并不高，但在实践中效果很好，例如，估计细胞的闪电密度。- 拓米

于 2013-03-05T21:07:13.157 回答
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您需要在此处对区域的含义进行更多定义。如果点之间的所有空间都被填充，那么只需对边界点进行采样并计算多边形的面积。但是，如果您可以对完整分布进行采样并确定某个位置是在填充区域还是空白区域，那么您的方法更有意义。

我看不出底层分布是如何平稳变化的——似乎一个点是否被填充。但是，如果您正在对密度分布进行采样，其中每个位置都有一个可变密度，那么您实际上是在执行面积积分或求积，为此有许多方法可以使用解析函数来近似基础分布。

如果基础分布不是连续的（平滑变化）而是离散的，那么您实际上是在找到分形的面积。为此，您需要通过您的方法多次评估该区域以获得越来越精细的网格，直到该值停止变化。对于分形，值永远不会停止变化，但对于有限数据集，它最终会停止。

于 2011-01-11T13:31:12.190 回答