python - 在 Python 中计算低秩近似

Question

给定一个维度为 nxn 的矩阵 M，我如何计算一个低秩分解，使得 M = LT * L，其中 L 的维度为 kxn。到目前为止，我只看到使用 SVD 完成此操作，这并不是我想要的，因为该方法给了我 M = U S V 和 UT != S*V，而不是 (LT).T == L .

另一种选择可能是使用某种形式的优化来找到 L，但这并不简单，因为我已经尝试了 SciPy 的几种优化方法，在 frobenius 范数下具有差异 M - LT * L，到目前为止我还没有没有成功。

编辑：我忘了通过使用 scikit 的非负矩阵分解类来补充这一点，我可以通过将 L 和 LT 作为优化的候选矩阵传递来部分地实现这一点。但是，我的矩阵 M 不是非负数，因此这种方法对我不起作用。

Answer 1

答案取决于您对矩阵的了解。

如果矩阵是半正定矩阵，您可以使用Cholesky Factorization，使用旋转来保持稳定性。

在其他假设下，可能不存在解决方案。

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可能不存在解决方案的示例，以下矩阵没有解决方案：

[[0, 1],
 [0, 0]] 

证明：假设答案存在。然后解决方案如下所示：

L = [[a, b],
     [c, d]]

所以以下必须为真：

1. a*a + b*c == 0
2. d*d + b*c == 0
3. c * (a+d) == 0
4. b * (a+d) == 1

根据 3。(c == 0) or ((a+d) == 0)

如果c == 0，则根据 1. 和 2.a == 0和d == 0. 如果这是真的，那么(a+d) == 0这使得 4. 不可能。

如果(a+d) == 0那么 4. 是不可能的。

矛盾的是，我们知道这个矩阵不可​​能有你要求的分解。