我根据不相交和的定义定义了一个布尔归纳类型:
Inductive Boole :=
| inlb (a: unit)
| inrb (b: unit).
给定两种类型A
,B
我试图证明之间的同构
sigT (fun x: Boole => prod ((eq x (inrb tt)) -> A) (eq x (inlb tt) -> B))
和
A + B
我设法证明了同构的一方面
Definition sum_to_sigT {A} {B} (z: A + B) :
sigT (fun x: Boole => prod ((eq x (inrb tt)) -> A) (eq x (inlb tt) -> B)).
Proof.
case z.
move=> a.
exists (inrb tt).
rewrite //=.
move=> b.
exists (inlb tt).
rewrite //=.
Defined.
Lemma eq_inla_inltt (a: unit) : eq (inlb a) (inlb tt).
Proof.
by case a.
Qed.
Lemma eq_inra_inrtt (a: unit) : eq (inrb a) (inrb tt).
Proof.
by case a.
Qed.
Definition sigT_to_sum {A} {B}
(w: sigT (fun x: Boole => prod ((eq x (inrb tt)) -> A) (eq x (inlb tt) -> B))) :
A + B.
Proof.
destruct w.
destruct p.
destruct x.
apply (inr (b (eq_inla_inltt a0))).
apply (inl (a (eq_inra_inrtt b0))).
Defined.
Definition eq_sum_sigT {A} {B} (x: A + B):
eq x (sigT_to_sum (sum_to_sigT x)).
Proof.
by case x.
Defined.
但是我在证明另一方时遇到了麻烦,主要是因为我没有设法在不同之间建立平等,x
并且p
涉及以下证明:
Definition eq_sigT_sum {A} {B}
(y: sigT (fun x: Boole => prod ((eq x (inrb tt)) -> A) (eq x (inlb tt) -> B))) : eq y (sum_to_sigT (sigT_to_sum y)).
Proof.
case: (sum_to_sigT (sigT_to_sum y)).
move=> x p.
destruct y.
destruct x.
destruct p.
Defined.
有谁知道我如何证明后一个引理?
谢谢您的帮助。