big-o - 当 x 趋于无穷时，f(x) 最小化 g(f(x)) 的阶数

Question

假设 f(x) 趋于无穷大，因为 x 趋于无穷大并且 a,b>0。找到产生最低阶的 f(x)

因为 x 趋于无穷大。按顺序我的意思是大 O和小 o符号。

我只能大致解决：

我的解决方案：当 x 趋于无穷时，我们可以说 ln(1+f(x)) 大约等于 ln(f(x))。然后，我必须最小化

因为对于任何 c>0，当 y =sqrt(c) 时，y+c/y 被最小化，所以 b+ln f(x)}=sqrt(ax) 是答案。等效地，f(x)=e^(sqrt(ax)-b) 并且 g(x) 的最低阶是 2 sqrt(ax)。

你能帮我得到一个严格的答案吗？

Answer 1

最小化（我应该说是extremize）另一个函数的函数的严格方法是使用Euler-Lagrange 关系：

因此：

泰勒展开：

如果我们只考虑“常量”项：

这当然是你得到的结果。

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接下来，线性项：

我们不能解析解这个方程；但是我们可以探索函数中扰动f(x)的影响（即，对先前解的参数的微小变化）。我们显然可以忽略 的任何线性变化f，但我们可以添加一个正乘法因子A：

sqrt(ax)并且Af显然都是正数，所以 RHS 有一个负号。这意味着ln(A) < 0，因此A < 1，即新的扰动函数给出了（稍微）更严格的界限。由于 RHS 必须非常小 ( 1/f)，A因此不能比 1 小很多。

更进一步，我们可以B为 的指数添加另一个扰动f：

因为ln(A)和 RHS 都消失得很小，所以BLHS 上的 - 项必须更小才能使符号保持一致。

所以我们可以得出结论，(1)A非常接近1，(2)B远小于1，即你得到的结果实际上是一个很好的上界。

上述情况也导致了对 的更高幂的更严格限制的可能性f。