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我试图证明排序列表的尾部是在 Coq 中排序的，使用模式匹配而不是策略：

Require Import Coq.Sorting.Sorted.

Definition tail_also_sorted {A : Prop} {R : relation A} {h : A} {t : list A} 
                            (H: Sorted R (h::t)) : Sorted R t :=
match H in Sorted _ (h::t) return Sorted _ t with
  | Sorted_nil _ => Sorted_nil R
  | Sorted_cons rest_sorted _ => rest_sorted
end.

然而，这失败了，有：

Error:
Incorrect elimination of "H" in the inductive type "Sorted":
the return type has sort "Type" while it should be "Prop".
Elimination of an inductive object of sort Prop
is not allowed on a predicate in sort Type
because proofs can be eliminated only to build proofs.

我怀疑在基础微积分中是可能的，因为以下精益代码类型检查，并且精益也建立在 CIC 之上：

inductive is_sorted {α: Type} [decidable_linear_order α] : list α -> Prop
| is_sorted_zero : is_sorted []
| is_sorted_one : ∀ (x: α), is_sorted [x]
| is_sorted_many : ∀ {x y: α} {ys: list α}, x < y -> is_sorted (y::ys) -> is_sorted (x::y::ys)

lemma tail_also_sorted {α: Type} [decidable_linear_order α] : ∀ {h: α} {t: list α}, 
                                 is_sorted (h::t) -> is_sorted t
| _ [] _ := is_sorted.is_sorted_zero
| _ (y::ys) (is_sorted.is_sorted_many _ rest_sorted) := rest_sorted
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这似乎是一个错误。我认为问题出在以下部分：

in Sorted _ (h::t)

match在纯 CIC 中，不允许对表达式进行这种注释。相反，您需要编写如下内容：

Definition tail_also_sorted {A : Prop} {R : relation A} {h : A} {t : list A}
                            (H: Sorted R (h::t)) : Sorted R t :=
match H in Sorted _ t'
        return match t' return Prop with
               | [] => True
               | h :: t => Sorted R t
               end with
| Sorted_nil _ => I
| Sorted_cons rest_sorted _ => rest_sorted
end.

不同之处在于in子句中的索引现在是一个绑定在子句中的新变量return。为了让您不必编写如此糟糕的程序，Coq 允许您在子句中放入比泛型变量稍微复杂的表达式in，就像您拥有的那样。为了避免损害可靠性，这个扩展实际上被编译为核心 CIC 术语。我想在某处有一个错误是这个翻译产生了以下术语：

Definition tail_also_sorted {A : Prop} {R : relation A} {h : A} {t : list A}
                            (H: Sorted R (h::t)) : Sorted R t :=
match H in Sorted _ t'
        return match t' return Type with
               | [] => True
               | h :: t => Sorted R t
               end with
| Sorted_nil _ => I
| Sorted_cons rest_sorted _ => rest_sorted
end.

注意return Type注释。事实上，如果您尝试在 Coq 中输入此代码段，您会收到与您看到的完全相同的错误消息。

于 2017-07-11T16:39:51.030 回答