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我无法回答上一个问题，因为我不是该网站的成员，所以当我返回时无法对此发表评论。这是我的问题：

要找到由图 y=x^2 和区间 [a,b] 上的 x 轴界定的区域的面积，我们可以通过绘制许多“薄”矩形并取它们的面积之和来近似该区域. 让我们将 [a,b] 划分为 n 个相同宽度的较小区间 h=b-1/n。在每个间隔上都有一个高度为 y=r 的矩形，其中 r 是 x 轴上那个小间隔的中间。该矩形的面积是 hy。编写一个 Python 函数，以 a、b 和 n 作为参数，并使用上述方法返回抛物线 y=x^2 下区域的近似面积。如果您能解释一下为什么您的程序有效，那将会很有帮助。

感谢乐于助人的成员，我找到了以下程序（请编辑程序，因为我无法/不知道如何

def parabola(x):
    y = x*x
    return y

def approx_area(fn, a, b, n):
    """
    Approximate the area under fn in the interval [a,b]
    by adding the area of n rectangular slices.
    """

    a = float(a)
    b = float(b)
    area = 0.0
    for slice in range(n):
        left = a + (b-a)*slice/n
        right = a + (b-a)*(slice+1)/n
        mid = (left + right)*0.5
        height = fn(mid)
        width = right - left
        area += height * width

    return area

    print "Area is", approx_area(parabola, -1.0, 1.0, 500)

但是，我需要将它放在一个完整的功能下。关于如何做到这一点的任何想法？

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2 回答 2

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好的，通过将函数更改为y = x并尝试一些已知的输入值，我得出结论它工作正常：

0 .. 1 =>  0.5
0 .. 2 =>  2.0
1 .. 2 =>  1.5
0 .. 9 => 40.5

如果你想把它全部放在一个函数中，只需去掉parabola()，从函数中删除第一个参数approx_area()（并调用），然后更改：

height = fn(mid)

至：

height = mid * mid

如：

def approx_area(a, b, n):
    """
    Approximate the area under fn in the interval [a,b]
    by adding the area of n rectangular slices.
    """

    a = float(a)
    b = float(b)
    area = 0.0
    for slice in range(n):
        left = a + (b-a)*slice/n
        right = a + (b-a)*(slice+1)/n
        mid = (left + right)*0.5
        height = mid * mid
        width = right - left
        area += height * width

    return area

print "Area is", approx_area(-1, 1, 500)

请注意，我通常不会为家庭作业提供这么明确的帮助，但是，由于您自己完成了大部分工作，因此只需轻推一下即可。

我会警告您不要按原样提交此代码，因为简单的网络搜索很容易在此处找到它，并且您的成绩可能会因此受到影响。

检查它，彻底理解它是如何工作的，然后尝试自己重新编码而不看这个源代码。相信我，这将在你的职业生涯中为你提供更多帮助，而不仅仅是盲目抄袭。

为了让您了解此方法背后的理论，请考虑函数的切片y = x：

7   .
6  /|
5 / |
  | |
  | |
  | |
  | |
  | |
0 +-+
  567

顶部的中点 y 坐标（以及高度）为(5 + 7) / 2，或6，宽度为2，面积为12。

现在这实际上是实际区域，但这只是因为我们使用的公式。对于非线性公式，由于顶部“线”的性质，会有不准确之处。具体来说，在您的情况下，抛物线是弯曲的。

但是这些不准确性越来越少，并且您使用越来越薄的切片，因为当您缩短它时，任何线都趋向于直线（线性）。对于上述情况，如果将其分成两片，则面积将为5.5 x 1和。如果你的线不是直的，那么两层的答案会比一层的答案更接近现实。6.5 x 112

对于您的抛物线（但x = 0 .. 1为了让我的生活更轻松，x = -1 .. 1因为它围绕 y 轴对称，所以只需将所有内容加倍），这是单片解决方案中的最坏情况。在这种情况下，中点位于 处x = 0.5, y = 0.25，当您将其乘以y的宽度时1，您会得到 的面积0.25。

有两个切片（宽度 = 0.5），中点位于：

   x       y    y x width
----  ------    ---------
0.25  0.0625      0.03125
0.75  0.5625      0.28125
                ---------
                  0.31250

所以面积估计有0.3125。

有四个切片（宽度 = 0.25），中点位于：

    x         y   y x width
-----  --------  ----------
0.125  0.015625  0.00390625
0.375  0.140625  0.03515625
0.625  0.390625  0.09765625
0.875  0.765625  0.19140625
                 ----------
                 0.32812500

所以面积估计有0.328125。

有八个切片（宽度 = 0.125），中点位于：

     x           y    y x width
------  ----------  -----------
0.0625  0.00390625  0.000488281
0.1875  0.03515625  0.004394531
0.3125  0.09765625  0.012207031
0.4375  0.19140625  0.023925781
0.5625  0.31640625  0.039550781
0.6875  0.47265625  0.059082031
0.8125  0.66015625  0.082519531
0.9375  0.87890625  0.109863281
                    -----------
                    0.332031248

所以面积估计有0.332031248。

如您所见，这越来越接近实际领域1/3（我知道这一点，因为我知道微积分，见下文）。

希望这将有助于您理解您拥有的代码。

如果你真的想知道它是如何工作的，你需要研究微积分，特别是积分和微分。这些方法可以采用一个公式，并为您提供另一个计算线斜率和线下面积的公式。

但是，除非您将大量使用它并且需要真实（数学）准确性，否则您可能只使用您正在学习的近似方法。

于 2010-12-18T01:40:43.353 回答
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在http://en.wikipedia.org/wiki/Integral#Formal_definitions也有一个很好的可视化

我们看抛物线在 a 和 b 之间的部分，我们把它分成一组垂直的矩形切片，使得每个矩形的顶部中心正好在抛物线上。

这使得每个矩形的一个角“悬在”抛物线上方，而另一个太低，留下未填充的空间；所以抛物线下的面积等于矩形的面积加一点，再减去一点。但是我们如何比较这些位呢？矩形的面积是不是有点太大了，还是不够？

替代文字

如果我们在矩形的顶部中心画一条与抛物线相切的线，我们可以“切断”重叠的位，将其翻转，然后将其添加到另一侧；请注意，这不会改变矩形（现在是梯形）的总面积。

替代文字 替代文字

我们现在可以看到，抛物线下方的两侧都有一点空间，因此梯形的面积略小于抛物线下方的面积。我们现在可以将梯形顶部视为沿抛物线底部形成的一堆直线段（“线性分段近似”）；段下的面积几乎与我们正在寻找的实际面积相同（但总是略小于）。

那么我们如何最小化“略小于”的数量，以使我们计算的面积更准确呢？一种方法是使用曲线近似块而不是直线；这会导致样条曲线（Bezier 曲线、NURBS 等）。另一种方法是使用大量较短的线段，以“提高分辨率”。微积分将这个想法发挥到了极致（双关语），使用了无数个无限短的片段。

于 2010-12-18T16:41:13.923 回答