recursion - 带递归方法的最长路径算法的计算复杂度

Question

我编写了一个代码段来确定图中的最长路径。以下是代码。但是由于中间的递归方法，我不知道如何获得其中的计算复杂度。由于找到最长的路径是一个 NP 完全问题，我认为它类似于O(n!)or O(2^n)，但我如何才能真正确定它呢？

public static int longestPath(int A) {
    int k;
    int dist2=0;
    int max=0;

    visited[A] = true;

    for (k = 1; k <= V; ++k) {
        if(!visited[k]){
            dist2= length[A][k]+longestPath(k);
            if(dist2>max){
                max=dist2;
            }
        }
    }
    visited[A]=false;
    return(max);
}

Answer 1

您的递归关系是T(n, m) = mT(n, m-1) + O(n)，其中n表示节点数并m表示未访问节点数（因为您调用longestPath m时间，并且有一个循环执行访问的测试n时间）。基本情况是T(n, 0) = O(n)（只是访问的测试）。

解决这个问题，我相信你会得到 T(n, n) 是 O(n * n!)。

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在职的：

T(n, n) = nT(n, n-1) + O(n) 
        = n((n-1)T(n, n-2) + O(n)) + O(n) = ...
        = n(n-1)...1T(n, 0) + O(n)(1 + n + n(n-1) + ... + n(n-1)...2)
        = O(n)(1 + n + n(n-1) + ... + n!)
        = O(n)O(n!) (see http://oeis.org/A000522)
        = O(n*n!)