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假设有一个 1 和 0 的 2D 网格，例如 -

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0

网格被“折叠”以形成一个少 1 行和 1 列的较小网格，因此上述示例将“折叠”以形成 3 行和 3 列的网格。

新值由以下规则确定 -

new_grid[i][j] is dependent on 
  i) old_grid[i][j], 
 ii) old_grid[i][j+1], 
iii) old_grid[i+1][j] 
 iv) old_grid[i+1][j+1]

If exactly one of the above values are 1, then new_grid[i][j] will be 1, else 0.

所以对于示例网格， out of [0][0], [0][1], [1][0] and [1][1], only [0][1]is 1，所以[0][0]在新网格中将为 1。类似地， out of [0][1], [0][2], [1][1] and [1][2], both [0][1] and [1][2]are 1，所以[0][1]innew_grid将为 0。

输入以值的形式给出new_grid。我必须找出可能的配置数量old_grid，这new_grid可以通过提供的折叠规则来实现。

我的方法

我目前想到的回溯解决方案是这样的——

  1. 为旧网格中的每个 1 值单元格识别假想的 2X2 框，这将对应于新网格中的适当单元格。

  2. 所有这些盒子都将包含一个值为 1 的单元格，因此将 1 放入每个盒子的随机单元格中。

  3. 递归检查在随机单元格中放置 1 是否确保每个框仍然恰好保留一个值为 1 的单元格。

  4. 如果最终获得了一个网格配置，其中每个框恰好包含一个值为 1 的单元格，请检查该配置是否可以“折叠”以获取新网格。

  5. 如果不是，则使用值为 1 的不同单元格重复该过程。

如果旧网格中有一些不属于任何“框”的单元格，那么它们就是我所说的“无关紧要”单元格。

例如 -

1 1 
0 0

对于上述new_grid情况，old_grid可以是 -

1 0 1
0 0 0 
0 0 0

或者

1 0 1
0 0 0
1 1 1

最后一行的单元格是“无关紧要”的单元格，因为它们不属于任何 2X2 框，并且它们都可以是1s 或0s 是有效的配置（我认为这是我们可以灵活操作它们的程度，虽然我不确定）。

我的问题是——这个算法很可能是指数级增长的，说50X10.

有没有其他方法可以解决这个问题？或者是否有任何聪明的算法不通过所有可能的配置来计算它们？

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1 回答 1

0

嗯，所以我想到了一个像这样的 2x3 newGrid：

newGrid: 0 1 0
         0 0 0

这需要由以下 3x4 oldGrid 中的任何一个生成：
每个都_可以是1或0

oldGrid 1: _ 0 1 _
           _ 0 0 _
           _ _ _ _

oldGrid 2: _ 1 0 _
           _ 0 0 _
           _ _ _ _

oldGrid 3: _ 0 0 _
           _ 1 0 _
           _ _ _ _

oldGrid 4: _ 0 0 _
           _ 0 1 _
           _ _ _ _

剩下的 8 个点可以用 2^8 种方式填充。所以答案是 4 * 2^8

然而，想象一下如果 newGrid 有多个 1：

newGrid: 1 1 0
         0 0 0

这将有这 8 个 oldGrids：

oldGrid 1: 1 0 _ _
           0 0 _ _
           _ _ _ _

oldGrid 2: 0 1 _ _
           0 0 _ _
           _ _ _ _

oldGrid 3: 0 0 _ _
           1 0 _ _
           _ _ _ _

oldGrid 4: 0 0 _ _
           0 1 _ _
           _ _ _ _

oldGrid 5: _ 1 0 _
           _ 0 0 _
           _ _ _ _

oldGrid 6: _ 0 1 _
           _ 0 0 _
           _ _ _ _

oldGrid 7: _ 0 0 _
           _ 1 0 _
           _ _ _ _

oldGrid 8: _ 0 0 _
           _ 0 1 _
           _ _ _ _

从oldGrid 1我会产生 2^8 组合。但请注意其中一些将如何与oldGrid 6. 就是那些看起来像这样的：

oldGrid 1.1: 1 0 1 _
             0 0 0 _
             _ _ _ _

它有 2^6 个解。

所以oldGrid 1有 2^8 - 2^6 不与oldGrid 6.
并且oldGrid 6有 2^6 个不与oldGrid 1.
他们一起有 (2^8 - 2^6) + (2^8 - 2^6) + 2^6 解决方案。

1 和 6、1 和 8、2 和 5、3 和 6、3 和 8、4 和 7 具有冲突的解空间，每个空间都有 2^6。

我认为这意味着解决方案的数量是 8 * 2^8 - 6 * 2^6。
那就是：

numberOfSolutions = numberOf1s * 4 * 2^(oldGridSize-4) - overlappingSolutionsCount
overlappingSolutionsCount = numberOfOverlappingPairs * 2^(oldGridSize-4-overlapAreaSize)

如何计算重叠

function countOverlappingSolutions(newGrid: an MxN matrix) {
    result = 0
    oldGridSize = (M+1) * (N+1)
    for each pair of 1s in the newGrid:
        let manhattanDistance = manhattan distance between the 1s in the pair
        let overlapAreaSize = 0

        if the 1s are in the same row or column
            if manhattanDistance == 1:
                overlapSize = 2
        else if manhattanDistance == 2
            overlapAreaSize = 1

        result += 2^(oldGridSize -4 -overlapAreaSize)

    return result
}

最终算法：

let newGrid be a MxN matrix
let numberOf1s = number of 1s in newGrid
let oldGridSize = (M+1) * (N+1)

result = numberOf1s * 4 * 2^(oldGridSize - 4) - countOverlappingSolutions(newGrid)

我无法努力编写 python 代码，但我希望解决方案是正确的和/或显示方法

于 2018-07-17T11:52:02.827 回答