algorithm - 从 (1 .. n) 自然数系列中取出每个第 k 个元素

Question

例如，我们有系列 1、2、3、4、5。我们取每 3 个元素 => 3、1、5、2、4（选择的元素不应该保留，当系列不为空时我们可以取）。通过循环双向链表的幼稚实现并不是性能的好主意。你能给我一个建议，哪些数据结构和算法更适用吗？

Answer 1

如果您只需要最后一个数字，则称为约瑟夫斯问题，并且有众所周知的公式可以O(N)及时计算答案。

我不知道是否可以调整它以运行完整的模拟，所以我将O(N log N)在这里描述一个简单的解决方案：

让我们使用隐式键将所有数字保存在一个陷阱中。我们需要k在每一步找到第-个元素并删除它（实际上，可以有一个移位，所以它更像是(cur_shift + k) % cur_size，但这并不重要）。一个陷阱可以做到。我们只需要将其拆分为 3 部分[0, k - 1]，[k, k]然后[k + 1, cur_size - 1]打印与第二部分对应的节点中的数字，然后将第一部分和最后一部分重新合并在一起。每一步都需要O(log N)时间，因此对于给定的约束应该足够好。

Answer 2

构建一个包含数字 1 到 n 的完整二叉树，例如对于 n=15，它将是：

在每个分支中，存储其左侧的节点数；这将使我们能够快速找到第 i 个节点。（您会看到这棵树具有非常可预测的结构和值，并且生成它比构建具有随机排序值的相同大小的二叉树要高效得多。它也是树中树的理想候选者。大批。）

然后，要找到第 i 个数字，从根节点开始，在每个节点上，如果 i 比左边的节点数大 1，则找到第 i 个数字，否则向左走（如果i 不大于左侧的节点数）或右侧（如果 i 比左侧的节点数大 1 多）。

每当您向左走时，减少该节点左侧的节点数（因为我们将删除一个）。

每当您向右走时，将要查找的数字减去节点左侧的节点数，再加 1（如果节点中的值已被删除，则加 0）。

当您找到第 i 个节点时，读取其值（以添加到移除顺序列表），然后将其值设置为 0。此后，如果我们正在寻找的第 i 个节点的值已被删除，我们将向右走，然后取最左边的节点。

我们从值 i = k 开始，然后每次我们删除第 i 个节点中的数字时，我们都会减少节点的总数并设置i = (i + k - 1) % total（或者如果它为零：）i = total。

这给出了 log ₂ N 的查找时间和 N×LogN 的总复杂度。

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示例演练：在n=15（如上图）和k=6的情况下，第一步是 6、12、3、10、2。此时的情况是：

我们刚刚删除了第二个数字，现在i = 2 + 6 - 1 = 7. 我们从根节点开始，它的左边有 4 个节点，并且仍然有它的值，所以我们向右走，从我们正在寻找的 7 中减去 5，得到 2。我们到达节点 12（已经擦除）并发现它的左边有2个节点，所以我们减少它左边的节点数，然后向左走。我们来到节点 10（已被擦除），发现它的左边有 1 个节点，并且 1 = 2 - 1 所以这就是我们要寻找的节点；然而，由于它的值已被删除，我们向右走并从我们正在寻找的 2 中减去 1 并得到 1。我们到达节点 11，它的左侧有 0 个节点（因为它是叶子），并且0 = 1 - 1，所以这是我们正在寻找的节点。

然后我们将节点的总数从 10 减少到 9，并将 i 从 7 更新到(7 + 6 - 1) % 9 = 3并继续找到第三个节点（现在是值为 5 的节点）。

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这是 JavaScript 中的一个简单实现。它在不到一秒的时间内解决了 100,000 个数字的序列，并且通过使用数组中的树结构，它可能会变得更快、更节省空间。

（与上面的解释不同，数字的索引是从零开始的，为了简化代码；所以索引 0 是树中的第一个数字，我们寻找具有多个左连接子节点的节点，等于目标指数。）

function Tree(size) {                      // CONSTRUCTOR
    var height = Math.floor(Math.log(size) / Math.log(2));
    this.root = addNode(height, 1 << height, size);
    this.size = size;
    function addNode(height, value, max) { // RECURSIVE TREE-BUILDER
        var node = {value: value > max ? 0 : value, lower: (1 << height) - 1};
        if (height--) {
            node.left = addNode(height, value - (1 << height), max);
            if (value < max) {             // DON'T ADD UNNECESSARY RIGHT NODES
                node.right = addNode(height, value + (1 << height), max);
            }
        }
        return node;
    }
}
Tree.prototype.cut = function(step) {      // SEE ANSWER FOR DETAILS
    var sequence = [], index = (step - 1) % this.size;
    while (this.size) {
        var node = this.root, target = index;
        while (node.lower != target || node.value == 0) {
            if (target < node.lower) {
                --node.lower;
                node = node.left;
            } else {
                target -= node.lower + (node.value ? 1 : 0);
                node = node.right;
            }
        }
        sequence.push(node.value);
        node.value = 0;
        index = (index + step - 1) % --this.size;
    }
    return sequence;
}
var tree = new Tree(15);
var sequence = tree.cut(6);
document.write("15/6&rarr;" + sequence + "<BR>");

tree = new Tree(100000);
sequence = tree.cut(123456);
document.write("100000/123456&rarr;" + sequence);

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笔记：

如果查看 n=10 的树，您会看到根右侧的节点有一棵不完整的树，左侧有 2 个节点，但是上面代码示例中实现的算法给出了不正确的左侧-节点数为 3 而不是 2：

但是，左侧有不完整树的节点本身永远不会保存值，右侧也永远不会有节点。所以不管怎样，你总是往左边走，他们的左节点数量太高这一事实并不重要。

Answer 3

这是一个用数组表示二叉树的实现，只将左子树的大小存储为节点值。输入数组实际上并没有被存储，而是默默地假设为底层的叶子，在二叉树下面：

function josephusPermutation(size, step) {
    var len = 1 << 32 - Math.clz32(size-1), // Smallest power of 2 >= size
        tree = Array(len).fill(0), // Create tree in array representation 
        current = 0, 
        skip = step - 1,
        result = Array(size).fill(0),
        goRight, leftSize, order, i, j;

    // Initialise tree with sizes of left subtrees as node values
    (function init(i) {
        if (i >= len) return +(i - len < size); // Only count when within size
        var left = tree[i] = init(i*2); // recursive, only store left-size
        return left + (left ? init(i*2+1) : 0); // return sum of left and right 
    })(1);

    for (j = 0; j < result.length; j++, size--) {
        current = (current + skip) % size; // keep within range
        order = current;
        for (i = 1; i < len; i = i*2+goRight) {
            leftSize = tree[i];
            goRight = order >= leftSize;
            if (goRight) {
                order -= leftSize; // Moving rightward, counting what is at left side.
            } else {
                tree[i]--; // we will remove value at left side
            }
        }
        result[j] = 1 + i - len;
    }
    return result;
}

var sequence = josephusPermutation(100000, 123456);
console.log(sequence.join(','));

Answer 4

下面是 Lei Wang 和 Xiaodong Wang (2013) ¹ O(n log k)算法的实现（如果不是基于 Errol Lloyd 于 1983 年发表的算法，则非常相似）。这个想法是将原始序列划分n/m为高度的二叉树log k。该算法实际上是为“猫科动物”约瑟夫斯问题设计的，其中参与者可以拥有不止一个生命（在下面的数组变量中列出global.l）。

我也喜欢O(1)Knuth、Ahrens 和 Kaplansky 的空间算法（在 Gregory Wilson 的硕士论文中进行了概述，加利福尼亚州立大学，海沃德，1979 ²），虽然处理速度可能很快，但取决于参数。

Knuth 的算法J(n,d,t)(t是ith命中)，一个降序：

Let x1 = d * t and for k = 2,3,..., 
  let x_k = ⌊(d * x_(k−1) − d * n − 1) / (d − 1)⌋

Then J(n,d,t) = x_p where x_p is the first term in the sequence <= n.

Ahrens 算法J(n,d,t), 一个升序：

Let a1 = 1 and for k = 2,3,... 
  let a_k = ⌈(n − t + a_(k−1)) * d / (d − 1)⌉ 
If a_r is the first term in the sequence such that a_r + 1 ≥ d * t + 1 
  then J(n,d,t) = d * t + 1 − a_r.

卡普兰斯基算法J(n,d,t)：

Let Z+ be the set of positive integers and for k =1,2,...,t 
  define a mapping P_k : Z+ → Z+ by P_k(m) = (m+d−1)−(n−k+1)(m−k+d−1)/(n−k+1)
Then, J(n,d,t) = P1 ◦ P2 ◦···◦Pt(t).

JavaScript 代码：

var global = {
  n: 100000,
  k: 123456,
  l: new Array(5).fill(1),
  m: null,
  b: null,
  a: [],
  next: [],
  prev: [],
  i: 0,
  limit: 5,
  r: null,
  t: null
}

function init(params){
  global.m = Math.pow(2, Math.ceil(Math.log2(params.k)));
  params.b = Math.ceil(params.n / global.m);
      
  for (let i=0; i<params.b; i++){
    let s = i * global.m,
        t = (i + 1) * global.m,
        u = [];
        
    for (let j=0; j<global.m; j++)
      u[j] = 0;
      
    for (let j=s; j<=Math.min(t-1,params.n-1); j++)
      u[j-s] = -(j + 1);
      
    global.a[i] = [];
    build(u, global.a[i]);
    
    t = (i + 1) % params.b;
    
    params.next[i] = t;
    params.prev[t] = i;
  }
}

function build(u,v){
  function count(_v, i){
    if (global.m < i + 2){
      if (_v[i] < 0)
        return 1;
      else
        return 0;
        
    } else {
      _v[i] = count(_v, 2*i + 1);
      _v[i] = _v[i] + count(_v, 2*i + 2);
      return _v[i];
    }
  }
  
  for (let i=0; i<global.m; i++)
    v[global.m + i - 1] = u[i];
    
  count(v, 0);
}

function algorithmL(n, b){
  global.r = 0;
  global.t = b - 1;
      
  while (global.i < global.limit){
    tree(global, global);
    let j = leaf(global, global);
    hit(global.i,j,global,global);
    global.i = global.i + 1;
  }
}

function tree(params_r,params_t){
  if (params_t.t === global.next[params_t.t] && params_r.r < global.k){
    params_r.r = global.k + global.a[params_t.t][0] - 1 - (global.k - params_r.r - 1) % global.a[params_t.t][0];
  } else {
    while (params_r.r < global.k){
      params_t.t = global.next[params_t.t];
      params_r.r = params_r.r + global.a[params_t.t][0];
    }
  }
}

function size(t,j){
  if (global.a[t][j] < 0)
    return 1
  
  return global.a[t][j];
}

function leaf(params_r,params_t){
  let j = 0,
      nxt = params_r.r - global.k;
      
  while (j + 1 < global.m){
    let rs = size(params_t.t, 2*j + 2);
    if (params_r.r - rs < global.k){
      j = 2*j + 2;
    } else {
      j = 2*j + 1;
      params_r.r = params_r.r - rs;
    }
  }
  params_r.r = nxt;
  return j;
}

function hit(i,j,params_r,params_t){
  let h = -global.a[params_t.t][j];
  console.log(h);
  if (global.l[h-1] > 1)
    global.l[h-1] = global.l[h-1] - 1;
  else
    kill(i,j,params_r,params_t);
}

function kill(i,j,params_r,params_t){
  global.a[params_t.t][j] = 0;
  while (j > 0){
    j = Math.floor((j - 1) / 2);
    global.a[params_t.t][j] = global.a[params_t.t][j] - 1;
  }
  if (params_t.t !== global.next[params_t.t]){
    if (global.a[params_t.t][0] + global.a[global.next[params_t.t]][0] === global.m){
      params_r.r = params_r.r + global.a[global.next[params_t.t]][0];
      combine(params_t);
    } else if (global.a[params_t.t][0] + global.a[global.prev[params_t.t]][0] === global.m){
      t = global.prev[params_t.t];
      combine(params_t);
    }
  }
}

function combine(params_t){
  let x = global.next[params_t.t],
      i = 0,
      u = [];
  
  for (let j=0; j<global.m; j++)
    if (global.a[params_t.t][global.m + j - 1] < 0){
      u[i] = global.a[params_t.t][global.m + j - 1];
      i = i + 1;
    }
  for (let j=0; j<global.m; j++)
    if (global.a[x][global.m + j - 1] < 0){
      u[i] = global.a[x][global.m + j - 1];
      i = i + 1;
    }
  build(u,global.a[params_t.t]);
  global.next[params_t.t] = global.next[global.next[params_t.t]];
  global.prev[global.next[params_t.t]] = params_t.t;
}

init(global);
algorithmL(global.n, global.b);

(1) L. Wang 和 X. Wang。广义约瑟夫斯问题算法的比较研究。应用数学与信息科学, 7, No. 4, 1451-1457 (2013)。

(2) Wilson (1979) 的参考文献：

Knuth, DE, The Art of Computer Programming , Addison-Wesley, Reading Mass., Vol I Fundal Algorithms, 1968, Ex. 22, p158; 卷。III，排序和搜索，例如。2，第 18-19 页；卷。I，第 2 版，第 181 页。

Ahrens, W., Mathematische Unterhaltungen und Spiele , Teubner: Leipzig, 1901, Chapter 15, 286-301。

Kaplansky, I. 和 Herstein IN，Matters Mathematical，切尔西，纽约，1978 年，第 121-128 页。