我正在阅读关于CLRS 第三版（第 662 页）中的 Dijkstra 算法。这是书中我不明白的部分：
如果图足够稀疏——特别是
E = o(V^2/lg V)——我们可以通过使用二进制最小堆实现最小优先级队列来改进算法。
为什么图形应该是稀疏的？
这是另一部分：
每个 DECREASE-KEY 操作都需要时间
O(log V)，而且这样的操作最多还有 E 个。
假设我的图表如下所示：
我想计算从 1 到 6 的最短路径并使用最小堆方法。所以首先，我将所有节点添加到最小优先级队列中。建立最小堆后，最小节点就是源节点（因为它与自身的距离为0）。我提取它并更新其所有邻居的距离。
然后我需要调用decreaseKey距离最小的节点来创建一个新的堆最小值。但是我怎么知道它在常数时间内的指数呢？
节点
private static class Node implements Comparable<Node> {
final int key;
int distance = Integer.MAX_VALUE;
Node prev = null;
public Node(int key) {
this.key = key;
}
@Override
public int compareTo(Node o) {
if (distance < o.distance) {
return -1;
} else if (distance > o.distance) {
return 1;
} else {
return 0;
}
}
@Override
public String toString() {
return "key=" + key + " distance=" + distance;
}
@Override
public int hashCode() {
return key;
}
@Override
public boolean equals(Object obj) {
if (this == obj) {
return true;
}
if (!(obj instanceof Node)) {
return false;
}
Node other = (Node) obj;
return key == other.key;
}
}
最小优先级队列
public static class MinPriorityQueue {
private Node[] array;
private int heapSize;
public MinPriorityQueue(Node[] array) {
this.array = array;
this.heapSize = this.array.length;
}
public Node extractMin() {
Node temp = array[0];
swap(0, heapSize - 1, array);
heapSize--;
sink(0);
return temp;
}
public boolean isEmpty() {
return heapSize == 0;
}
public void buildMinHeap() {
for (int i = heapSize / 2 - 1; i >= 0; i--) {
sink(i);
}
}
public void decreaseKey(int index, Node key) {
if (key.compareTo(array[index]) >= 0) {
throw new IllegalArgumentException("the new key must be greater than the current key");
}
array[index] = key;
while (index > 0 && array[index].compareTo(array[parentIndex(index)]) < 0) {
swap(index, parentIndex(index), array);
index = parentIndex(index);
}
}
private int parentIndex(int index) {
return (index - 1) / 2;
}
private int left(int index) {
return 2 * index + 1;
}
private int right(int index) {
return 2 * index + 2;
}
private void sink(int index) {
int smallestIndex = index;
int left = left(index);
int right = right(index);
if (left < heapSize && array[left].compareTo(array[smallestIndex]) < 0) {
smallestIndex = left;
}
if (right < heapSize && array[right].compareTo(array[smallestIndex]) < 0) {
smallestIndex = right;
}
if (index != smallestIndex) {
swap(smallestIndex, index, array);
sink(smallestIndex);
}
}
public Node min() {
return array[0];
}
private void swap(int i, int j, Node[] array) {
Node temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
}