c++ - 如何计算远离圆周上一点的固定弧长的（x，y）

Question

我在这件事上花了这么多时间，我能感觉到我的理智在慢慢滑落。因此，任何帮助将不胜感激。我会尽量简洁。

我在二维平面上有一个圆圈。我知道它的中心点（C）和半径（R）的笛卡尔坐标。

我的困惑源于这个问题。当在圆外的平面上提供一个点时；我可以计算最接近该点的圆周上的点（P）。

我想要做的是确定圆周上 2 个点的 (x,y) 坐标。我们称它们为 P1 和 P2。P1和P2是圆弧的两端。弧的长度是固定的（X）。P 是 P1 和 P2 之间的中点。因此，从 P 到 P1 和 P 到 P2 的弧长都是 X/2。

简而言之：给定 C, R, P, X ；我需要计算 P1 和 P2。

我正在尝试用 C++ 编写代码，但任何建议或伪代码都会很棒。

编辑：X 是弧长，而不是 P1 和 P2 之间的直线

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在一个圆上，一个角度theta对应于的弧长theta * R，这意味着您的弧将对着的角度theta = X / R。所以如果从你的观点开始

P = C + R * (sin(u), cos(u))

然后只需上/下theta/2：

P1 = C + R * (sin(u + theta/2), cos(u + theta/2))

和

P2 = C + R * (sin(u - theta/2), cos(u - theta/2))

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对角 θ（以弧度为单位）的弧的弧长为 θR。因此，您需要 θ = X/(2R) 的半角。然后，您需要获取向量 (P -C)，将其旋转 ±θ 角，然后在 C 中加回以获得 P1 和 P2。要将向量旋转一个角度，请将其乘以旋转矩阵。

所以，在伪代码中，它看起来像这样：

θ = X/(2R)
A = 2x2 rotation matrix corresponding to a rotation by θ radians
A' = transpose of A
P1 = C + A * (P - C)
P2 = C - A' * (P - C)

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有几件事可以提供帮助。不会写代码，但我想解决方案将基于三角形。考虑：

任何半径都是相同的长度。

因此从 P1-P1-C 绘制的三角形是等腰三角形。

任何切线都垂直于半径。

我很难在此时此地证明这一点，但是如果你将线从 C 延伸到 P1/P2 到在 C->P 处与圆相交的切线也形成等腰。

从那里应该很容易弄清楚。

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