c++ - 加速 FFTW 修剪以避免大量零填充

Question

假设我有一个x(n)很K * N长的序列，并且只有第一个N元素不为零。N << K例如，我假设N = 10和K = 100000。我想通过 FFTW 计算这样一个序列的 FFT。这等效于有一个长度序列N并且对 . 有一个零填充K * N。因为N并且K可能是“大”的，所以我有一个显着的零填充。我正在探索是否可以节省一些计算时间以避免显式零填充。

案子K = 2

让我们从考虑这个案例开始K = 2。在这种情况下，DFTx(n)可以写为

如果k是偶数，即k = 2 * m，则

这意味着 DFT 的这些值可以通过一个长度序列的 FFT 来计算N，而不是K * N.

如果k是奇数，即k = 2 * m + 1，则

这意味着 DFT 的这些值可以通过一系列长度的 FFT 再次计算出来N，而不是K * N。

因此，总而言之，我可以将单个长度FFT 与长度 FFT2 * N交换。2N

任意的情况K

在这种情况下，我们有

在写作k = m * K + t时，我们有

所以，总而言之，我可以用长度的 FFT 交换一个长度K * N的KFFTN。由于 FFTW 具有fftw_plan_many_dft，我可以预期在单个 FFT 的情况下会有所收获。

为了验证这一点，我设置了以下代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>     /* srand, rand */
#include <time.h>       /* time */
#include <math.h>
#include <fstream>

#include <fftw3.h>

#include "TimingCPU.h"

#define PI_d            3.141592653589793

void main() {

    const int N = 10;
    const int K = 100000;

    fftw_plan plan_zp;

    fftw_complex *h_x = (fftw_complex *)malloc(N     * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xzp = (fftw_complex *)calloc(N * K, sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xpruning = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xhatpruning = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xhatpruning_temp = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xhat = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));

    // --- Random number generation of the data sequence
    srand(time(NULL));
    for (int k = 0; k < N; k++) {
        h_x[k][0] = (double)rand() / (double)RAND_MAX;
        h_x[k][1] = (double)rand() / (double)RAND_MAX;
    }

    memcpy(h_xzp, h_x, N * sizeof(fftw_complex));

    plan_zp = fftw_plan_dft_1d(N * K, h_xzp, h_xhat, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);
    fftw_plan plan_pruning = fftw_plan_many_dft(1, &N, K, h_xpruning, NULL, 1, N, h_xhatpruning_temp, NULL, 1, N, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);

    TimingCPU timerCPU;
    timerCPU.StartCounter();
    fftw_execute(plan_zp);
    printf("Stadard %f\n", timerCPU.GetCounter());

    timerCPU.StartCounter();
    double factor = -2. * PI_d / (K * N);
    for (int k = 0; k < K; k++) {
        double arg1 = factor * k;
        for (int n = 0; n < N; n++) {
            double arg = arg1 * n;
            double cosarg = cos(arg);
            double sinarg = sin(arg);
            h_xpruning[k * N + n][0] = h_x[n][0] * cosarg - h_x[n][1] * sinarg;
            h_xpruning[k * N + n][1] = h_x[n][0] * sinarg + h_x[n][1] * cosarg;
        }
    }
    printf("Optimized first step %f\n", timerCPU.GetCounter());

    timerCPU.StartCounter();
    fftw_execute(plan_pruning);
    printf("Optimized second step %f\n", timerCPU.GetCounter());
    timerCPU.StartCounter();
    for (int k = 0; k < K; k++) {
        for (int p = 0; p < N; p++) {
            h_xhatpruning[p * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][0];
            h_xhatpruning[p * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][1];
        }
    }
    printf("Optimized third step %f\n", timerCPU.GetCounter());

    double rmserror = 0., norm = 0.;
    for (int n = 0; n < N; n++) {
        rmserror = rmserror + (h_xhatpruning[n][0] - h_xhat[n][0]) * (h_xhatpruning[n][0] - h_xhat[n][0]) + (h_xhatpruning[n][1] - h_xhat[n][1]) * (h_xhatpruning[n][1] - h_xhat[n][1]);
        norm = norm + h_xhat[n][0] * h_xhat[n][0] + h_xhat[n][1] * h_xhat[n][1];
    }
    printf("rmserror %f\n", 100. * sqrt(rmserror / norm));

    fftw_destroy_plan(plan_zp);

}

我开发的方法包括三个步骤：

1. 将输入序列乘以“旋转”复指数；
2. 执行fftw_many；
3. 重新组织结果。

fftw_many比单个 FFTW快K * N输入点然而，步骤#1 和#3 完全破坏了这种增益。我希望步骤 #1 和 #3 在计算上比步骤 #2 轻得多。

我的问题是：

1. 第 1 步和第 3 步怎么可能比第 2 步的计算要求更高？
2. 如何改进步骤 #1 和 #3 以相对于“标准”方法获得净收益？

非常感谢您的任何提示。

编辑

我正在使用 Visual Studio 2013 并在发布模式下编译。

Answer 1

运行速度更快的几个选项：

1. 如果您只运行单线程并且有多个可用内核，请运行多线程。

2. 创建并保存 FFTW 智慧文件，尤其是在 FFT 尺寸事先已知的情况下。使用FFTW_EXHAUSTIVE, 并重新加载 FFTW 智慧，而不是每次都重新计算。如果您希望结果保持一致，这一点也很重要。由于 FFTW 可能使用不同的计算智慧以不同的方式计算 FFT，并且智慧结果不一定总是相同的，因此当给定相同的输入数据时，您的流程的不同运行可能会产生不同的结果。

3. 如果您使用的是 x86，请运行 64 位。FFTW 算法是寄存器密集型的，在 64 位模式下运行的 x86 CPU 比在 32 位模式下运行时有更多的通用寄存器可用。

4. 由于 FFTW 算法是如此的寄存器密集型，我通过使用可防止使用预取并防止函数的隐式内联的编译器选项来编译 FFTW，从而成功地提高了 FFTW 性能。

Answer 2

对于第三步，您可能想尝试切换循环的顺序：

for (int p = 0; p < N; p++) {
    for (int k = 0; k < K; k++) {
        h_xhatpruning[p * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][0];
        h_xhatpruning[p * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][1];
    }
}

因为存储地址通常比加载地址连续更有利。

不管怎样，你都有一个缓存不友好的访问模式。您可以尝试使用块来改进这一点，例如假设 N 是 4 的倍数：

for (int p = 0; p < N; p += 4) {
    for (int k = 0; k < K; k++) {
        for (int p0 = 0; p0 < 4; p0++) {
            h_xhatpruning[(p + p0) * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[(p + p0) + k * N][0];
            h_xhatpruning[(p + p0) * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[(p + p0) + k * N][1];
        }
    }
}

这应该有助于在一定程度上减少缓存行的流失。如果确实如此，那么也可以尝试使用 4 以外的块大小来查看是否存在“最佳位置”。

Answer 3

同样遵循 Paul R 的评论，我改进了我的代码。现在，另一种方法比标准（零填充）方法更快。下面是完整的 C++ 脚本。对于第 1 步和第 3 步，我评论了其他尝试过的解决方案，这些解决方案显示出与未评论的解决方案一样慢或一样快。for考虑到未来更简单的 CUDA 并行化，我也有特权非嵌套循环。我还没有为 FFTW 使用多线程。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>     /* srand, rand */
#include <time.h>       /* time */
#include <math.h>
#include <fstream>

#include <omp.h>

#include <fftw3.h>

#include "TimingCPU.h"

#define PI_d            3.141592653589793

/******************/
/* STEP #1 ON CPU */
/******************/
void step1CPU(fftw_complex * __restrict h_xpruning, const fftw_complex * __restrict h_x, const int N, const int K) {

//  double factor = -2. * PI_d / (K * N);
//  int n;
//  omp_set_nested(1);
//#pragma omp parallel for private(n) num_threads(4)
//  for (int k = 0; k < K; k++) {
//      double arg1 = factor * k;
//#pragma omp parallel for num_threads(4)
//      for (n = 0; n < N; n++) {
//          double arg = arg1 * n;
//          double cosarg = cos(arg);
//          double sinarg = sin(arg);
//          h_xpruning[k * N + n][0] = h_x[n][0] * cosarg - h_x[n][1] * sinarg;
//          h_xpruning[k * N + n][1] = h_x[n][0] * sinarg + h_x[n][1] * cosarg;
//      }
//  }

    //double factor = -2. * PI_d / (K * N);
    //int k;
    //omp_set_nested(1);
    //#pragma omp parallel for private(k) num_threads(4)
    //for (int n = 0; n < N; n++) {
    //  double arg1 = factor * n;
    //  #pragma omp parallel for num_threads(4)
    //  for (k = 0; k < K; k++) {
    //      double arg = arg1 * k;
    //      double cosarg = cos(arg);
    //      double sinarg = sin(arg);
    //      h_xpruning[k * N + n][0] = h_x[n][0] * cosarg - h_x[n][1] * sinarg;
    //      h_xpruning[k * N + n][1] = h_x[n][0] * sinarg + h_x[n][1] * cosarg;
    //  }
    //}

    //double factor = -2. * PI_d / (K * N);
    //for (int k = 0; k < K; k++) {
    //  double arg1 = factor * k;
    //  for (int n = 0; n < N; n++) {
    //      double arg = arg1 * n;
    //      double cosarg = cos(arg);
    //      double sinarg = sin(arg);
    //      h_xpruning[k * N + n][0] = h_x[n][0] * cosarg - h_x[n][1] * sinarg;
    //      h_xpruning[k * N + n][1] = h_x[n][0] * sinarg + h_x[n][1] * cosarg;
    //  }
    //}

    //double factor = -2. * PI_d / (K * N);
    //for (int n = 0; n < N; n++) {
    //  double arg1 = factor * n;
    //  for (int k = 0; k < K; k++) {
    //      double arg = arg1 * k;
    //      double cosarg = cos(arg);
    //      double sinarg = sin(arg);
    //      h_xpruning[k * N + n][0] = h_x[n][0] * cosarg - h_x[n][1] * sinarg;
    //      h_xpruning[k * N + n][1] = h_x[n][0] * sinarg + h_x[n][1] * cosarg;
    //  }
    //}

    double factor = -2. * PI_d / (K * N);
    #pragma omp parallel for num_threads(8)
    for (int n = 0; n < K * N; n++) {
        int row = n / N;
        int col = n % N;
        double arg = factor * row * col;
        double cosarg = cos(arg);
        double sinarg = sin(arg);
        h_xpruning[n][0] = h_x[col][0] * cosarg - h_x[col][1] * sinarg;
        h_xpruning[n][1] = h_x[col][0] * sinarg + h_x[col][1] * cosarg;
    }
}

/******************/
/* STEP #3 ON CPU */
/******************/
void step3CPU(fftw_complex * __restrict h_xhatpruning, const fftw_complex * __restrict h_xhatpruning_temp, const int N, const int K) {

    //int k;
    //omp_set_nested(1);
    //#pragma omp parallel for private(k) num_threads(4)
    //for (int p = 0; p < N; p++) {
    //  #pragma omp parallel for num_threads(4)
    //  for (k = 0; k < K; k++) {
    //      h_xhatpruning[p * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][0];
    //      h_xhatpruning[p * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][1];
    //  }
    //} 

    //int p;
    //omp_set_nested(1);
    //#pragma omp parallel for private(p) num_threads(4)
    //for (int k = 0; k < K; k++) {
    //  #pragma omp parallel for num_threads(4)
    //  for (p = 0; p < N; p++) {
    //      h_xhatpruning[p * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][0];
    //      h_xhatpruning[p * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][1];
    //  }
    //}

    //for (int p = 0; p < N; p++) {
    //  for (int k = 0; k < K; k++) {
    //      h_xhatpruning[p * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][0];
    //      h_xhatpruning[p * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][1];
    //  }
    //}

    //for (int k = 0; k < K; k++) {
    //  for (int p = 0; p < N; p++) {
    //      h_xhatpruning[p * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][0];
    //      h_xhatpruning[p * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[p + k * N][1];
    //  }
    //}

    #pragma omp parallel for num_threads(8)
    for (int p = 0; p < K * N; p++) {
        int col = p % N;
        int row = p / K;
        h_xhatpruning[col * K + row][0] = h_xhatpruning_temp[col + row * N][0];
        h_xhatpruning[col * K + row][1] = h_xhatpruning_temp[col + row * N][1];
    }

    //for (int p = 0; p < N; p += 2) {
    //  for (int k = 0; k < K; k++) {
    //      for (int p0 = 0; p0 < 2; p0++) {
    //          h_xhatpruning[(p + p0) * K + k][0] = h_xhatpruning_temp[(p + p0) + k * N][0];
    //          h_xhatpruning[(p + p0) * K + k][1] = h_xhatpruning_temp[(p + p0) + k * N][1];
    //      }
    //  }
    //}

}

/********/
/* MAIN */
/********/
void main() {

    int N = 10;
    int K = 100000;

    // --- CPU memory allocations
    fftw_complex *h_x = (fftw_complex *)malloc(N     * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xzp = (fftw_complex *)calloc(N * K, sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xpruning = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xhatpruning = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xhatpruning_temp = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));
    fftw_complex *h_xhat = (fftw_complex *)malloc(N * K * sizeof(fftw_complex));
    //double2        *h_xhatGPU = (double2 *)malloc(N * K * sizeof(double2));


    // --- Random number generation of the data sequence on the CPU - moving the data from CPU to GPU
    srand(time(NULL));
    for (int k = 0; k < N; k++) {
        h_x[k][0] = (double)rand() / (double)RAND_MAX;
        h_x[k][1] = (double)rand() / (double)RAND_MAX;
    }
    //gpuErrchk(cudaMemcpy(d_x, h_x, N * sizeof(double2), cudaMemcpyHostToDevice));

    memcpy(h_xzp, h_x, N * sizeof(fftw_complex));

    // --- FFTW and cuFFT plans
    fftw_plan h_plan_zp      = fftw_plan_dft_1d(N * K, h_xzp, h_xhat, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);
    fftw_plan h_plan_pruning = fftw_plan_many_dft(1, &N, K, h_xpruning, NULL, 1, N, h_xhatpruning_temp, NULL, 1, N, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);

    double totalTimeCPU = 0., totalTimeGPU = 0.;
    double partialTimeCPU, partialTimeGPU;

    /****************************/
    /* STANDARD APPROACH ON CPU */
    /****************************/
    printf("Number of processors available = %i\n", omp_get_num_procs());
    printf("Number of threads              = %i\n", omp_get_max_threads());

    TimingCPU timerCPU;
    timerCPU.StartCounter();
    fftw_execute(h_plan_zp);
    printf("\nStadard on CPU: \t \t %f\n", timerCPU.GetCounter());

    /******************/
    /* STEP #1 ON CPU */
    /******************/
    timerCPU.StartCounter();
    step1CPU(h_xpruning, h_x, N, K);
    partialTimeCPU = timerCPU.GetCounter();
    totalTimeCPU = totalTimeCPU + partialTimeCPU;
    printf("\nOptimized first step CPU: \t %f\n", totalTimeCPU);

    /******************/
    /* STEP #2 ON CPU */
    /******************/
    timerCPU.StartCounter();
    fftw_execute(h_plan_pruning);
    partialTimeCPU = timerCPU.GetCounter();
    totalTimeCPU = totalTimeCPU + partialTimeCPU;
    printf("Optimized second step CPU: \t %f\n", timerCPU.GetCounter());

    /******************/
    /* STEP #3 ON CPU */
    /******************/
    timerCPU.StartCounter();
    step3CPU(h_xhatpruning, h_xhatpruning_temp, N, K);
    partialTimeCPU = timerCPU.GetCounter();
    totalTimeCPU = totalTimeCPU + partialTimeCPU;
    printf("Optimized third step CPU: \t %f\n", partialTimeCPU);

    printf("Total time CPU: \t \t %f\n", totalTimeCPU);

    double rmserror = 0., norm = 0.;
    for (int n = 0; n < N; n++) {
        rmserror = rmserror + (h_xhatpruning[n][0] - h_xhat[n][0]) * (h_xhatpruning[n][0] - h_xhat[n][0]) + (h_xhatpruning[n][1] - h_xhat[n][1]) * (h_xhatpruning[n][1] - h_xhat[n][1]);
        norm = norm + h_xhat[n][0] * h_xhat[n][0] + h_xhat[n][1] * h_xhat[n][1];
    }
    printf("\nrmserror %f\n", 100. * sqrt(rmserror / norm));

    fftw_destroy_plan(h_plan_zp);

}

对于案件

N = 10
K = 100000

我的时间如下

Stadard on CPU:                  23.895417

Optimized first step CPU:        4.472087
Optimized second step CPU:       4.926603
Optimized third step CPU:        2.394958
Total time CPU:                  11.793648