algorithm - 二维矩阵中大小为 HxW 的最大子数组

Question

给定一个正整数的二维数组，找到大小为 HxW 且总和最大的子矩形。矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

输入： 具有正元素的 2D 数组 NxN 子矩形的 HxW 大小

输出： HxW 大小的子矩阵，其元素之和最大。

我已经使用蛮力方法解决了这个问题，但是，我现在正在寻找具有更好复杂性的更好解决方案（我的蛮力方法的复杂度是 O(n ⁶ )）。

Answer 1

首先创建矩阵的累积和：O(n ² )

Matrix
2 4 5 6
2 3 1 4
2 0 2 1

Cumulative sum
2 6  11 17
4 11 17 27
6 13 21 32

cumulative_sum(i,j)是 中所有元素的总和submatrix (0:i,0:j)。您可以使用以下逻辑计算累积和矩阵：

cumulative_sum(i,j) = cumulative_sum(i-1,j) + cumulative_sum(i,j-1) - cumulative_sum(i-1,j-1) + matrix(i,j)

使用累积和矩阵，您可以计算 O(1) 中每个子矩阵的总和：

calculating sum of submatrix (r1 ... r2 , c1 ... c2)
sum_sub = cumulative_sum(r2,c2) - cumulative_sum(r1-1,c2) - cumulative_sum(r2,c1-1) + cumulative_sum(r1-1,c1-1)

然后使用两个循环，您可以将硬件矩形的左上角放在矩阵的每个点上并计算该矩形的总和。

for r1=0->n_rows
   for c1=0->n_cols
       r2 = r1 + height - 1
       c2 = c1 + width - 1
       if valid(r1,c1,r2,c2) // doesn't exceed the original matrix
            sum_sub = ... // formula mentioned above
            best = max(sum_sub, best)
return best

这种方法在O(N ² )中。

这是python实现：

from copy import deepcopy

def findMaxSubmatrix(matrix, height, width):
    nrows = len(matrix)
    ncols = len(matrix[0])           

    cumulative_sum = deepcopy(matrix)

    for r in range(nrows):
        for c in range(ncols):
            if r == 0 and c == 0:
                cumulative_sum[r][c] = matrix[r][c]
            elif r == 0:
                cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r][c-1] + matrix[r][c]
            elif c == 0:
                cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r-1][c] + matrix[r][c]
            else:
                cumulative_sum[r][c] = cumulative_sum[r-1][c] + cumulative_sum[r][c-1] - cumulative_sum[r-1][c-1] + matrix[r][c]

    best = 0
    best_pos = None

    for r1 in range(nrows):
        for c1 in range(ncols):
            r2 = r1 + height - 1
            c2 = c1 + width - 1
            if r2 >= nrows or c2 >= ncols:
                continue
            if r1 == 0 and c1 == 0:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2]
            elif r1 == 0:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r2][c1-1]
            elif c1 == 0:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r1-1][c2]
            else:
                sub_sum = cumulative_sum[r2][c2] - cumulative_sum[r1-1][c2] - cumulative_sum[r2][c1-1] + cumulative_sum[r1-1][c1-1]
            if best < sub_sum:
                best_pos = r1,c1
                best = sub_sum

    print "maximum sum is:", best
    print "top left corner on:", best_pos


matrix = [ [2,4,5,6],
           [2,3,1,4],
           [2,0,2,1] ]
findMaxSubmatrix(matrix,2,2)

输出

maximum sum is: 16
top left corner on: (0, 2)