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IEEE 754（IEC 559）浮点标准中的乘法是否x + x可以互换加法，或者更一般地说，是否有任何保证并且总是给出完全相同的结果？2 * xcase_addcase_mul 

#include <limits>

template <typename T>
T case_add(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    T result(x);

    for (size_t i = 1; i < n; ++i)
    {
        result += x;
    }

    return result;
}

template <typename T>
T case_mul(T x, size_t n)
{
    static_assert(std::numeric_limits<T>::is_iec559, "invalid type");

    return x * static_cast<T>(n);
}
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4 回答 4

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IEEE 754 (IEC 559) 浮点标准中的加法是否x + x可以通过乘法互换2 * x

是的，因为它们在数学上是相同的，所以它们会给出相同的结果（因为结果是精确的浮点数）。

或更一般地说，是否可以保证 case_add 和 case_mul 总是给出完全相同的结果？

一般不会，不会。据我所知，它似乎适用于n <= 5：

  • n=3：x+x准确无误（即不涉及四舍五入），因此(x+x)+x在最后一步只涉及一次四舍五入。

  • n=4（并且您使用的是默认舍入模式）然后

    • 如果 的最后一位x是 0，那么x+x+x是精确的，因此结果与 相同的参数相等n=3。
    • 如果最后 2 位是01，则 的确切值x+x+x将具有最后 2 位1|1（其中 | 表示格式中的最后一位），将四舍五入为0|0. 下一个加法会给出一个精确的结果|01，所以结果会被四舍五入，抵消之前的错误。
    • 如果最后 2 位是11，则 的确切值x+x+x将具有 的最后 2 位0|1，将向下舍入为0|0。下一个加法将给出一个精确的结果|11，所以结果将被四舍五入，再次抵消前一个错误。

  • n=5（再次，假设默认舍入）：因为x+x+x+x是精确的，它的成立原因与n=3.

因为n=6它失败了，例如 take xto be 1.0000000000000002（下一个doubleafter 1.0），在这种情况下6xis6.000000000000002和x+x+x+x+x+xis6.000000000000001

于 2016-10-04T15:55:10.887 回答
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n例如，如果是，pow(2, 54)那么乘法就可以正常工作，但是在加法路径中，一旦结果值足够大于输入x，result += x就会产生result。

于 2016-10-04T15:18:39.500 回答
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是的，但一般不成立。乘以大于 2 的数字可能不会得到相同的结果，因为您已经更改了指数，如果用加法替换，可能会下降一点。但是，如果用加法运算代替，乘以 2 就不会下降一点。

于 2016-10-04T15:27:50.607 回答
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如果累加器resultincase_add变得太大，相加x将引入舍入误差。在某一点上，添加x根本没有效果。所以函数不会给出相同的结果。

例如，如果double x = 0x1.0000000000001p0（十六进制浮点表示法）：

n  case_add              case_mul

1  0x1.0000000000001p+0  0x1.0000000000001p+0
2  0x1.0000000000001p+1  0x1.0000000000001p+1
3  0x1.8000000000002p+1  0x1.8000000000002p+1
4  0x1.0000000000001p+2  0x1.0000000000001p+2
5  0x1.4000000000001p+2  0x1.4000000000001p+2
6  0x1.8000000000001p+2  0x1.8000000000002p+2
于 2016-10-04T15:32:09.560 回答