logic - 量词、嵌套、范围自由和绑定变量

Question

我找不到关于量词范围、自由变量和绑定变量的几个问题的正确解释。

1) ∃X(p(X,Y) & ∃Y(X,Y)) - 我想知道第二个 X。它是否仍在 ∃X 量词的范围内，因为它实际上嵌套在 ∃Y 下？如果它不在 ∃X 的范围内，那么它是一个自由变量吗？我认为它应该绑定到∃X。
2)∃X(p(Y,Z) & ∃X(q(Y,Z)) - 是否需要第二个 ∃X？它对自由变量 Y 和 Z 有什么改变吗？

我有更多这类问题，但这两个问题目前最困扰我。回答他们可能会让我大致了解这个想法并回答自己接下来的问题。

此外，如果您有详细解释此类内容的资源，我将不胜感激！

先感谢您！

Answer 1

1. 是的，第二个X受∃X. （如果你有∃X p(X,Y) & ∃Y(X,Y)，它取决于使用的约定；在某些书中它被理解为∃X(p(X,Y) & ∃Y(X,Y))，在其他书中被理解为(∃X p(X,Y)) & ∃Y(X,Y)）。

2. 不，第二个∃X不会改变任何东西（第一个也不会）。

3. 免费的额外示例：在 中∃X(p(Y,Z) & ∃X(q(X,Z))，外部∃X不绑定任何东西（因此删除它会给出等效公式），因为唯一X已经被内部绑定。