floating-point - 为什么数字在双精度 IEEE754 中（不）可以表示？

Question

我对IEEE754双精度感到困惑，我考虑了两个问题：
1. 为什么区间 -2 ⁵⁴ , -2 ⁵⁴ +2, -2 ⁵⁴ +4...2 ⁵⁴中的每个数字都是可表示的？

2.为什么 2 ⁵⁴ +2 不可表示？

你能帮助我吗 ？我了解 IEEE754的工作方式- 但是，我看到它时遇到问题。

Answer 1

IEEE 754 双精度的有效位（或尾数）有 53 位。−2 ⁵⁴可以精确表示为

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00 (bin)
exponent: 54
sign:     1

现在让我们暂时忘记符号位。与此解释无关。所以假设我们有 +2 ⁵⁴。

使用这个指数，有效数的最低（最右边）位的值为 2 ^-52 * 2 ⁵⁴ = 4。因此 2 ⁵⁴ + 4 被编码为：

mantissa: 1.00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01 (bin)
exponent: 54                                                             ^
                                                                lowest bit

但两者之间没有任何价值。所以你不能编码 2 ⁵⁴ + 2。

为什么这对−2 ⁵⁴ + 2不是问题？因为这与−(2 ⁵⁴ − 2)相同，并且表示为：

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11
exponent: 53 !!
sign:     1

指数 53 意味着您有 2 ^-52 * 2 ⁵³ = 2 的步长。接下来的 0 值是：

mantissa: 1.11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 10
exponent: 53
sign:     1

这是-2 ⁵⁴ + 4，或者实际上是-(2 ⁵⁴ - 4)。你可以这样继续下去，直到达到 -2 ⁵³。