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在阅读 Bartosz 为程序员编写的优秀类别理论时，我陷入了第二个练习，该练习处理的是 posets 中的产品。给定一个poset，

    b   e
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g

如何在分类意义上定义产品？什么是按两个对象的乘积分类的？那么副产品呢？

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我们先来看看产品的定义：

对象的乘积a和b是c具有态射p :: c -> a和q :: c -> b存在的对象，使得对于任何其他对象c'（具有态射p' :: c' -> a和q' :: c' -> b），存在m :: c' -> c这样的态射p' = p . m和q' = q . m。

请记住，偏序集中的态射基本上描述了“小于或等于”的关系。

现在c两个对象a和之间的乘积b必须是一个小于或等于a和的对象b。例如，让我们从图表中选择aase和bas ：g

    b   e -- this one is a
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g -- this one is b

平凡地，想到的第一个总是小于或等于任何其他对象的对象是最小的对象，在这种情况下a。

现在是和a的乘积的有效候选者？让我们检查一下产品的定义：eg

a从到有态射e吗？是的，这存在并且可以写成pₐ = ce . ac（读作：“首先是从 a 到 c 的箭头，然后是从 c 到 e 的箭头”）。

a从到有 morhismg吗？是的，这也存在，可以写成qₐ = cg . ac.

到目前为止这么好，剩下的唯一问题是这是否是“最佳”候选者，因为不存在其他对象，因此我们可以在a和另一个候选者之间构建唯一的同构？

查看图表，我们可以看到该对象c也满足所需的条件，其中p = ce和q = cg。

剩下要做的就是根据上述定义对这两个对象进行排名。我们看到存在从a到的态射c。这意味着c必须是最佳候选，因为我们现在可以定义态射和。m = acpₐ = p . m = ce . acqₐ = q . m = cg . ac

因此，一个poset中两个对象的乘积实际上是最大的对象，它都小于两者（也称为最大下界）。值得注意的是，在总排序中，这对应于函数min(a, b)，因为每个对象都必须与任何其他对象相关（Wolfram 将此称为三分法）。

类似于乘积定义，联积对应于大于或等于两者的最小对象a和b。在总排序中，这对应于两个对象的最大值。你可以自己解决这个问题。

于 2016-07-30T12:28:25.647 回答