logic - p(x)⇒∀xp(x) 是偶然的？

Question

我遇到了一个问题，询问流动的句子是否有效/偶然/不可满足：

p(x)⇒∀x.p(x) 

我认为答案是这句话是有效的。根据这里教科书的第 6.10 节http://logic.stanford.edu/intrologic/secondary/notes/chapter_06.htmlsays

带有自由变量的句子等价于所有自由变量都被普遍量化的句子。

因此，我认为第一个关系句子 p(x) 等于 ∀xp(x)，因此该句子是有效的，即。它总是正确的。

但是，正确的答案是句子是偶然的，即。在某些真值赋值下它是真的，而在其他一些其他真值赋值下它是假的。

那么为什么句子是偶然的？答案是错误的吗？

Answer 1

我认为这取决于您如何阅读句子。

如果您将其视为定义，则它不是偶然的。

但是，如果您将其视为纯逻辑……那么x该语句中实际上有 2 个含义。x左边的含义与x右边的量化不同。

p(x) => for all x . p(x)

意思是一样的

p(x) => for all y . p(y)

这显然是有条件的。并非所有谓词都如此p。

（例如：

1. 让我们p(x)代表谓词“x 是左撇子”

2. 然后声明说：

    X is left-handed implies that everyone is left-handed.
   

   ...这不是一个逻辑上有效的陈述。

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请参阅@sawa 的答案以获得更“数学上严谨”的解释。

Answer 2

你有一个声明：

p(x)⇒∀x.p(x)

如果你普遍关闭自由变量，你会得到：

∀x.(p(x)⇒∀x.p(x))

换句话说：

∀x.(p(x)⇒∀y.p(y))

这不是重言式，而是偶然的。用非技术术语来说，这就是：

for any x, if p(x) is true, then p(y) is true for all y

or, to transform it into an equivalent form:

(∃x.p(x))⇒(∀y.p(y))

it reads:

if p(x) is true for some x, then p(y) is true for all y

In other words,

p(x) is either always true or always false