2

我有以下矩阵

M = 
       1  -3   3
       3  -5   3
       6  -6   4

WolframAlpha 命令eigenvalues {{1,-3, 3}, {3, -5, 3}, {6, -6, 4}}产生以下特征值：

lambda_1 = 4
lambda_2 = -2
lambda_3 = -2

以及以下特征向量：

v_1 = (1, 1, 2)
v_2 = (-1, 0, 1)
v_3 = (1, 1, 0)

但是，Octave 命令[V,D]= eig(M)给了我以下特征值和特征向量：

    V =
      -0.40825 + 0.00000i   0.24400 - 0.40702i   0.24400 + 0.40702i
      -0.40825 + 0.00000i  -0.41622 - 0.40702i  -0.41622 + 0.40702i
      -0.81650 + 0.00000i  -0.66022 + 0.00000i  -0.66022 - 0.00000i

    D =
    Diagonal Matrix
       4.0000 + 0.0000i                  0                  0
                      0  -2.0000 + 0.0000i                  0
                      0                  0  -2.0000 - 0.0000i

而且，Jama 给了我以下特征值：

    4   0   0
    0  -2   0
    0   0  -2

And the following eigenvectors:

      -0.408248  -0.856787  -0.072040
      -0.408248  -0.650770  -1.484180
      -0.816497   0.206017  -1.412140

Octave 和 Jama 结果似乎彼此不同，并且与 Wolfram 结果不同——Octave 甚至产生了复杂的特征向量，而特征值在所有三种方法中都一致。

关于差异的任何解释，以及如何解释 Octave 和 Jame 结果以匹配 Wolfram 结果？

请注意，http: //algebra.math.ust.hk/eigen/01_definition/lecture2.shtml 给出的手算与 Wolfram 的结果一致。

非常感谢您的帮助。

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1 回答 1

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所有 3 个答案都是正确的。

对应的特征向量4可以是的任意倍数。(1, 1, 2)换句话说，只要前两个值相同并且第三个数字是两倍大，它就是一个特征向量。

两个都

(-0.40825 + 0.00000i, -0.40825 + 0.00000i, -0.81650 + 0.00000i)

和

(-0.408248, -0.408248, -0.816497)

是这种形式。

-2重复特征值。因此特征值对应的特征空间-2是二维的。这意味着更难看出答案是等价的。

描述由两个特征向量生成的 2D 空间的最简单方法是满足所有向量的(1, 1, 0)集合(1, 0, -1)(a, b, c)

a - b + c = 0

很容易检查找到的所有 6 个特征向量-2都是这种形式。

当存在真正的解决方案时，Octave 以复数形式给出答案有点可悲，但实际上并没有错。

于 2016-04-11T01:36:47.007 回答