这项调查最初是从一个测试问题开始的，我在其中断言
R ∩ S = R ∩ (R ∩ S)
正如我所研究的那样，我无法提供有关关系代数中交集属性的大量信息。
如果这是集合论，我会断言
R ∩ (R ∩ S) => Associativity
(R ∩ R) ∩ S => Idempotence
(R) ∩ S = R ∩ S
使用关系代数，我们改为对袋子进行操作。我相信我可以用袋子采取同样的步骤（幂等性似乎微不足道，并且在http://comet.lehman.cuny.edu/stjohn/teaching/db/ullmanSlidesF00/slides7.pdf的第 3 页建议使用关联性），但是我不能完全得到一个正式的证明。
任何人都可以帮助我断言（或通过反例或其他方式反驳）关系代数中交集的关联性和幂等性吗？
非常感谢。
关系模型是在集合上正式定义的，因此关系代数仅在集合上定义。但是由于关系数据库扩展了模型以包含多集或包，关系代数也类似地扩展到了多集，几乎所有关于数据库的现代书籍都描述了这种扩展。
特别是，使用符号 Op b表示运算符 Op 在多重集上的变体，我们可以定义运算符 ∩<sup>b、∪<sup>b 和 -<sup>b 如下：
R ∩<sup>b S：如果一个元素t在 R 中出现n次，在 S 中出现m次，则它在 R 中出现min(n,m)次 ∩<sup>b S；
R ∪<sup>b S：如果一个元素t在 R 中出现n次，在 S 中出现m次，则它在 R ∪<sup>b S 中出现n+m次；
R -<sup>b S：如果元素t在 R 中出现n次，在 S 中出现m次，则它在 R -<sup>b S 中出现max(0,nm)次。
你想证明：
R ∩<sup>b S = R ∩<sup>b (R ∩<sup>b S)
正如您的正确推导所示，如果我们可以证明运算符 ∩<sup>b 的关联性和幂等性，则可以证明这一点。
幂等性：
R ∩<sup>b R = R
在这种情况下，由于每个元素在两个操作数中出现的次数相同，即m = n，我们有它在结果中出现min(n, n) = n次，即出现相同的次数的R。
关联性：
(R ∩<sup>b S) ∩<sup>b T = R ∩<sup>b (S ∩<sup>b T)
假设某个元素t在 R 中出现n次，在 S中出现m次，在 T 中出现k次，我们有：
(R ∩<sup>b S) ∩<sup>b T
它将在结果中出现min(min(n,m), k)次，这等于min(n,m,k)。另一方面，在：
R ∩<sup>b (S ∩<sup>b T)
它会在结果中出现min(n, min(m,k))次，但这又等于min(n,m,k)。
所以这意味着它在两个结果中出现的次数相同，所以两个结果是相等的。
正如 philipxy 已经评论过的，关系是集合，因此适用集合论。下面提供的链接为您提供了转换等价列表，其中列出了并集和交集的关联属性。
http://www.postgresql.org/message-id/attachment/32495/equivalenceRules.pdf
可能会提出一个问题，即有多少关系代数定理在 SQL 数据库而不是关系代数领域被证明是正确的。这是有问题的，因为任何给定的实现都可能存在错误，甚至 SQL 模型中也可能存在缺陷。我倾向于盲目地假设关系代数的结果会延续到实际世界，但一些深刻的思想家在这方面听起来很谨慎。