3

I currently have a MATLAB program which takes RGB images of traced spiral arms from galaxies and selects the biggest arm component and plots only that.

Spiral arm ready for curve fitting

I have tried using matlab's built in curve fitting tool with smoothing spline to fit it and I get the following result:

Spiral arm with MATLAB

I have tried using interp1 with parametric fitting to only get bad results.

Is there a way to fit this type of curve at all?

4

1 回答 1

3

您的错误结果是由于您将 2D 曲线作为函数处理,但事实并非如此(您有多个y相同的值x),这就是为什么右侧拟合失败(当您点击非函数区域时) )。

为了解决这个问题,您需要将曲线拟合到每个维度。因此,您可以将每个轴作为单独的函数进行拟合。为此,您需要使用不同的函数参数(不是 x)。如果您以某种方式对点进行排序(例如,通过距起点的曲线距离,或通过极角或任何其他方式),那么您可以使用点索引作为此类函数参数。

所以你做了这样的事情:

y(x) = fit((x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)...)

它返回一个多项式y(x)。相反,您应该执行以下操作:

x(t) = fit(( 0,x0),( 1,x1),( 2,x2)...)
y(t) = fit(( 0,y0),( 1,y1),( 2,y2)...)

您的新参数在哪里t收紧到有序列表中的点顺序。大多数曲线使用范围内的参数t=<0.0,1.0>来简化计算和使用。因此,如果你得到N点,那么你可以将点索引转换i=<0,N-1>为曲线参数t,如下所示:

t=i/(N-1);

绘图时,您需要更改

plot(x,y(x))

plot(x(t),y(t))

我为您的任务在C++/VCL中做了一个简单的三次三次插值的简单示例,以便您更好地理解我的意思:

    picture pic0,pic1;
        // pic0 - source
        // pic1 - output
    int x,y,i,j,e,n;
    double x0,x1,x2,x3,xx;
    double y0,y1,y2,y3,yy;
    double d1,d2,t,tt,ttt;
    double ax[4],ay[4];
    approx a0,a3; double ee,m,dm; int di;
    List<_point> pnt;
    _point p;

    // [extract points from image]
    pic0.load("spiral_in.png");
    pic1=pic0;
    // scan image
    xx=0.0; x0=pic1.xs;
    yy=0.0; y0=pic1.ys;
    for (y=0;y<pic1.ys;y++)
     for (x=0;x<pic1.xs;x++)
      // select red pixels
      if (DWORD(pic1.p[y][x].dd&0x00008080)==0)     // low blue,green
       if (DWORD(pic1.p[y][x].dd&0x00800000)!=0)    // high red
        {
        // recolor to green (just for visual check)
        pic1.p[y][x].dd=0x0000FF00;
        // add found point to a list
        p.x=x;
        p.y=y;
        p.a=0.0;
        pnt.add(p);
        // update bounding box
        if (x0>p.x) x0=p.x;
        if (xx<p.x) xx=p.x;
        if (y0>p.y) y0=p.y;
        if (yy<p.y) yy=p.y;
        }
    // center of bounding box for polar sort origin
    x0=0.5*(x0+xx);
    y0=0.5*(y0+yy);
    // draw cross (for visual check)
    x=x0; y=y0; i=16;
    pic1.bmp->Canvas->Pen->Color=clBlack;
    pic1.bmp->Canvas->MoveTo(x-i,y);
    pic1.bmp->Canvas->LineTo(x+i,y);
    pic1.bmp->Canvas->MoveTo(x,y-i);
    pic1.bmp->Canvas->LineTo(x,y+i);
    pic1.save("spiral_fit_0.png");
    // cpmpute polar angle for sorting
    for (i=0;i<pnt.num;i++)
        {
        xx=atan2(pnt[i].y-y0,pnt[i].x-x0);
        if (xx>0.75*M_PI) xx-=2.0*M_PI; // start is > -90 deg
        pnt[i].a=xx;
        }
    // bubble sort by angle (so index in point list can be used as curve parameter)
    for (e=1;e;)
     for (e=0,i=1;i<pnt.num;i++)
      if (pnt[i].a>pnt[i-1].a)
        {
        p=pnt[i];
        pnt[i]=pnt[i-1];
        pnt[i-1]=p;
        e=1;
        }
    // recolor to grayscale gradient (for visual check)
    for (i=0;i<pnt.num;i++)
        {
        x=pnt[i].x;
        y=pnt[i].y;
        pic1.p[y][x].dd=0x00010101*((250*i)/pnt.num);
        }
    pic1.save("spiral_fit_1.png");

    // [fit spiral points with cubic polynomials]
    n =6;                               // recursions for accuracy boost
    m =fabs(pic1.xs+pic1.ys)*1000.0;    // radius for control points fiting
    dm=m/50.0;                          // starting step for approx search
    di=pnt.num/25; if (di<1) di=1;      // skip most points for speed up
    // fit x axis polynomial
    x1=pnt[0          ].x;  // start point of curve
    x2=pnt[  pnt.num-1].x;  // endpoint of curve
    for (a0.init(x1-m,x1+m,dm,n,&ee);!a0.done;a0.step())
    for (a3.init(x2-m,x2+m,dm,n,&ee);!a3.done;a3.step())
        {
        // compute actual polynomial
        x0=a0.a;
        x3=a3.a;
        d1=0.5*(x2-x0);
        d2=0.5*(x3-x1);
        ax[0]=x1;
        ax[1]=d1;
        ax[2]=(3.0*(x2-x1))-(2.0*d1)-d2;
        ax[3]=d1+d2+(2.0*(-x2+x1));
        // compute its distance to points as the fit error e
        for (ee=0.0,i=0;i<pnt.num;i+=di)
            {
            t=double(i)/double(pnt.num-1);
            tt=t*t;
            ttt=tt*t;
            x=ax[0]+(ax[1]*t)+(ax[2]*tt)+(ax[3]*ttt);
            ee+=fabs(pnt[i].x-x);                   // avg error
//          x=fabs(pnt[i].x-x); if (ee<x) ee=x;     // max error
            }
        }
    // compute final x axis polynomial
    x0=a0.aa;
    x3=a3.aa;
    d1=0.5*(x2-x0);
    d2=0.5*(x3-x1);
    ax[0]=x1;
    ax[1]=d1;
    ax[2]=(3.0*(x2-x1))-(2.0*d1)-d2;
    ax[3]=d1+d2+(2.0*(-x2+x1));
    // fit y axis polynomial
    y1=pnt[0          ].y;  // start point of curve
    y2=pnt[  pnt.num-1].y;  // endpoint of curve
    m =fabs(y2-y1)*1000.0;
    di=pnt.num/50; if (di<1) di=1;
    for (a0.init(y1-m,y1+m,dm,n,&ee);!a0.done;a0.step())
    for (a3.init(y2-m,y2+m,dm,n,&ee);!a3.done;a3.step())
        {
        // compute actual polynomial
        y0=a0.a;
        y3=a3.a;
        d1=0.5*(y2-y0);
        d2=0.5*(y3-y1);
        ay[0]=y1;
        ay[1]=d1;
        ay[2]=(3.0*(y2-y1))-(2.0*d1)-d2;
        ay[3]=d1+d2+(2.0*(-y2+y1));
        // compute its distance to points as the fit error e
        for (ee=0.0,i=0;i<pnt.num;i+=di)
            {
            t=double(i)/double(pnt.num-1);
            tt=t*t;
            ttt=tt*t;
            y=ay[0]+(ay[1]*t)+(ay[2]*tt)+(ay[3]*ttt);
            ee+=fabs(pnt[i].y-y);                   // avg error
//          y=fabs(pnt[i].y-y); if (ee<y) ee=y;     // max error
            }
        }
    // compute final y axis polynomial
    y0=a0.aa;
    y3=a3.aa;
    d1=0.5*(y2-y0);
    d2=0.5*(y3-y1);
    ay[0]=y1;
    ay[1]=d1;
    ay[2]=(3.0*(y2-y1))-(2.0*d1)-d2;
    ay[3]=d1+d2+(2.0*(-y2+y1));
    // draw fited curve in Red
    pic1.bmp->Canvas->Pen->Color=clRed;
    pic1.bmp->Canvas->MoveTo(ax[0],ay[0]);
    for (t=0.0;t<=1.0;t+=0.01)
        {
        tt=t*t;
        ttt=tt*t;
        x=ax[0]+(ax[1]*t)+(ax[2]*tt)+(ax[3]*ttt);
        y=ay[0]+(ay[1]*t)+(ay[2]*tt)+(ay[3]*ttt);
        pic1.bmp->Canvas->LineTo(x,y);
        }
    pic1.save("spiral_fit_2.png");

我使用了您在 OP 中提供的输入图像。这是阶段输出

螺旋点选择:

在此处输入图像描述

按极角排序:

在此处输入图像描述

最终拟合结果:

在此处输入图像描述

如您所见,合身性不是很好,因为:

  • 我对整个手臂使用单个三次(它可能需要更大程度的多项式或细分到补丁)
  • 我使用从图像中提取点并且曲线很粗,所以每个极角有多个点(你得到了原始点,所以这应该不是问题)我应该使用细化算法但懒得添加它......

C++示例中,我使用自己的图像类,所以这里有一些成员:

  • xs,ys图像大小(以像素为单位)
  • p[y][x].dd是 (x,y) 位置的像素,为 32 位整数类型
  • p[y][x].db[4]是按色带 (r,g,b,a) 的像素访问
  • p.load(filename),p.save(filename)猜猜是什么...加载/保存图像
  • p.bmp->CanvasGDI位图访问,所以我也可以使用GDI的东西

拟合是由我的近似搜索类完成的:

所以只需approx从那里复制课程。

List<T>模板只是一个动态数组(列表)类型:

  • List<int> q; 是相同的int q[];
  • q.num保存内部元素的数量
  • q.add()将新的空元素添加到列表末尾
  • q.add(10)将 10 作为新元素添加到列表末尾

[笔记]

因为您已经有了点列表,所以您不需要扫描输入图像的点......所以你可以忽略那部分代码......

如果您需要Bézier而不是插值多项式,则可以直接转换控制点,请参阅:

如果目标曲线形式不固定,那么您也可以尝试通过一些参数圆直接拟合螺旋方程,例如具有移动中心和可变半径的方程。这应该更精确,并且大多数参数可以在不拟合的情况下计算。

[Edit1] 更好地描述矿多项式拟合

我正在使用上述链接中的插值三次,这些属性具有:

  • 对于4输入点p0,p1,p2,p3,曲线从 ( ) 开始,在( p1)t=0.0结束。这些点可以通过 (和) 到达,并确保补丁之间的连续性条件。因此,所有相邻块的推导和推导都是相同的。这与将 Bézier 补丁合并在一起是一样的。p2t=1.0p0,p3t=-1.0t=2.0p0p1

多项式拟合很容易:

  1. 我将 设置p1,p2为螺旋端点

所以曲线在它应该开始和结束的地方

  1. 我在p0,p3近处搜索p1,p2m

同时记住多项式曲线与原始点的最接近匹配。您可以为此使用平均或最大距离。该类approx完成您需要的所有工作,只是计算ee每次迭代中的距离。

因为m我使用多个图像大小。如果太大,您将失去精度(或需要更多的递归并减慢速度),如果太低,您可以限制控制点应该所在的区域并且拟合会变形。

迭代开始步骤dm是其中的一部分,m如果太小计算会很慢。如果太高,您可能会错过解决方案导致错误拟合的局部最小值/最大值。

为了加快计算,我只使用从点中均匀选择的 25 个点(无需使用所有点),步骤在di

维度分离x,y是一样的,你只需要改变所有的xfor y,否则代码是一样的。

于 2016-03-08T10:55:25.147 回答