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首先，这似乎（来自 ContourPlot）是一个相当简单的最大化问题，为什么使用牛顿法的 FindMaximum 有问题？

其次，我怎样才能摆脱警告？

第三，如果我无法摆脱这些警告，如何判断警告是否有意义，即最大化失败？

例如，在下面的代码中，使用 Newton 方法的 FindMaximum 会发出警告，而 PrincipalAxis 方法不会

o = 1/5 对数[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   3/10 对数[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/5 对数[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 对数[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 对数[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 对数[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
(* -1 使更多的轮廓朝向最大值 *)

轮廓函数[n_, p_] := 函数[{min, max},
   范围 = 最大值 - 最小值；
   表[Exp[p (x - 1)] x 范围 + min, {x, 0, 1, 1/n}]
   ];
cf = 轮廓函数[10, -1];
ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}, Contours -> cf}

FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton"}
FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "PrincipalAxis"}

请注意，我认为可能在其中一个组件的方向上的梯度为 0 是问题所在，但如果我扰乱了初始点，我仍然会收到相同的警告，这是一个示例

o = 1/5 对数[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/5 对数[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 对数[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   3/10 对数[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 对数[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 对数[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
等高线图@@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}}
FindMaximum @@ {o, {{j, -0.008983550852535105`}, {h,
    0.06931364191023386`}}，方法->“牛顿”}
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从数学上讲，我不确定 Netwon 的方法失败的确切原因，但文档中FindMaximum的示例指出了可能的问题下的这个特定问题和错误消息：“使用机器精度算术，即使具有平滑最大值的函数也可能看起来很颠簸”。

因此，如果您使用例如警告WorkingPrecision -> 20选项来提高工作精度：FindMaximum

In[25]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method->"Newton", WorkingPrecision->20]

Out[25]= {-2.0694248079871222533, {j -> -0.14189560954670761863, h -> 0}}

鉴于错误的文本具有相当的描述性：

FindMaximum::lstol：线搜索将步长减小到 AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 指定的容差范围内，但无法在函数中找到足够的增量。您可能需要超过 MachinePrecision 位数的工作精度才能满足这些公差。>>

...我怀疑牛顿的方法无法使用机器精度算术以足够小的误差达到固定点。

AccuracyGoal正如错误消息提示的那样，如果您不想切换到较慢的高精度算术，则可以改用该选项来指定解决方案中所需的有效位数：

In[27]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton", AccuracyGoal -> 5]

Out[27]= {-2.06942, {j -> -0.141896, h -> -2.78113*10^-17}}

希望有帮助！

于 2010-08-26T03:08:57.600 回答