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我想用以下约束计算 nCk mod m：

n<=10^18

k<=10^5

m=10^9+7

我读过这篇文章：

计算大 n 和 k 的二项式系数 (nCk)

但是这里 m 的值是 1009。因此使用卢卡斯定理，我们只需要计算 1009*1009 个不同的 aCb 值，其中 a,b<=1009

如何在上述约束下做到这一点。我不能用给定的约束来制作一个 O(m*k) 空间复杂度的数组。

帮助！

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的二项式系数(n, k)由以下公式计算：

(n, k) = n! / k! / (n - k)!

为了使这项工作适用于大数n和k模数，m请注意：

  1. 可以逐步计算模数的阶乘m，在每一步中取结果% m。但是，如果 n 达到 10^18，这将太慢。因此，有一些更快的方法，其复杂性受模数限制，您可以使用其中的一些方法。

  2. 除法(a / b) mod m等于(a * b^-1) mod m，其中b^-1是b模的倒数m（即(b * b^-1 = 1) mod m）。

这意味着：

(n, k) mod m = (n! * (k!)^-1 * ((n - k)!)^-1) mod m

使用扩展欧几里得算法可以有效地找到数字的倒数。假设您已经解决了阶乘计算，那么算法的其余部分很简单，只需注意乘法时的整数溢出。这是适用于n=10^9. 为了处理更大的数字，应该用更有效的算法替换阶乘计算，并且应该稍微调整代码以避免整数溢出，但主要思想将保持不变：

#define MOD 1000000007

// Extended Euclidean algorithm
int xGCD(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }

    int x1, y1, gcd = xGCD(b, a % b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1 - (long long)(a / b) * y1;
    return gcd;
}

// factorial of n modulo MOD
int modfact(int n) {
    int result = 1;
    while (n > 1) {
        result = (long long)result * n % MOD;
        n -= 1;
    }
    return result;
}

// multiply a and b modulo MOD
int modmult(int a, int b) {
    return (long long)a * b % MOD;
}

// inverse of a modulo MOD
int inverse(int a) {
    int x, y;
    xGCD(a, MOD, x, y);
    return x;
}

// binomial coefficient nCk modulo MOD
int bc(int n, int k)
{
    return modmult(modmult(modfact(n), inverse(modfact(k))), inverse(modfact(n - k)));
}
于 2016-02-05T16:40:50.390 回答
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首先，您不需要预先计算和存储所有可能的 aCb 值！它们可以按案例计算。

其次，对于 (k < m) 和 (n < m^2) 的特殊情况，卢卡斯定理很容易简化为以下结果：

(n 选择 k) mod m = ((n mod m) 选择 k) mod m

然后因为 (n mod m) < 10^9+7 你可以简单地使用@kfx 提出的代码。

于 2016-02-05T16:51:16.080 回答
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只需使用以下事实

(n, k) = n! / k! / (n - k)! = n*(n-1)*...*(n-k+1)/[k*(k-1)*...*1]

所以你实际上只有2*k=2*10^5因素。对于数字的倒数，您可以使用kfx的建议，因为您m是素数。

于 2016-02-05T17:25:28.827 回答
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我们要计算 nCk (mod p)。我会在 0 <= k <= p-2 时处理，因为卢卡斯定理处理其余部分。

威尔逊定理指出，对于素数 p，(p-1)！= -1 (mod p)，或等价的 (p-2)！= 1 (mod p)（除法）。

除法： (k!)^(-1) = (p-2)!/(k!) = (p-2)(p-3)...(k+1) (mod p)

因此，二项式系数为 n!/(k!(nk)!) = n(n-1)...(n-k+1)/(k!) = n(n-1)...( n-k+1)(p-2)(p-3)...(k+1) (mod p)

瞧。你不必做任何逆向计算或类似的事情。编码也相当容易。需要考虑的一些优化：（1）您可以将 (p-2)(p-3)... 替换为 (-2)(-3)...；(2) nCk 在 nCk = nC(nk) 的意义上是对称的，因此选择需要您进行较少计算的一半。

于 2018-07-11T20:08:58.947 回答