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假设我们有一组点，其限制条件是每个点的所有坐标都是非负的，并且坐标之和等于 1。这将点限制在 3 维单纯形中，因此尝试映射是有意义的它回到 3 维空间进行可视化。

我正在寻找的地图将采用极值点 (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) 和 (0,0,0,1)到“定位良好”的正四面体的顶点。特别是，四面体的中心位于原点，一个顶点位于 z 轴上，一个面平行于 x,y 平面，一个边平行于 x 轴。

这是对 3 维中的点执行类似操作的代码，但如何将其扩展到 4 似乎并不明显。基本上我正在寻找函数 tosimplex 的 4 维等效项（它将 4 维变为 3 维）并且它是相反的从单纯形

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // 转置；
B = 逆[A]；
tosimplex[{x_, y_, z_}] := 大多数[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};

(* 检查 *)
极端 = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}；
图形[Polygon[tosimplex /@extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@extreme

回答：

根据矩阵直接重新表述deinst的答案给出了以下内容。（1/sqrt[4] 作为第 4 个坐标出现，因为它是到单纯形中心的距离）

A = 转置[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])),
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])),
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])),
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = 逆[A]；
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := 大多数[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};

(* 检查 *)
极端 = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@extreme
4

2 回答 2

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你要

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

它是一个线性变换，所以你变换

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

编辑 您想要原点的中心 - 只需减去四个点的平均值。对不起

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)
于 2010-08-17T21:30:10.617 回答
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一种可能：

  1. \vec{v}_i从四面体的中心向每个顶点生成四个（非正交）3 向量。
  2. 对于每四个位置x = (x_1 .. x_4)形成向量 sum \Sum_i x_i*\vec{v}_i。

当然，这种映射通常不是唯一的，但您的条件是x_i的总和为 1 会限制事物。

于 2010-08-17T21:24:39.803 回答