database - R 在 3NF 当且仅当 R 在 BCNF 中？

Question

考虑一个关系R和一个函数依赖集F，只包括一个函数依赖：{X->A}. 证明如果 R 在 3NF 中当且当 R 在 BCNF 中。

到目前为止，对于 <- 方向的定义是微不足道的。但我努力向 -> 方向发展。我们知道什么F-closure？根据定义，我需要检查其中的每个函数依赖项Y->B，F-closure即其微不足道或 Y 是超键。关于我缺少的 R 的超级键是否有一些结论？

Answer 1

这是证明的草图。

BCNF 中的关系模式意味着该模式也属于 3NF 的事实是由于 3NF 的定义（每个行列式是一个超键或仅暗示主要属性，并且我们知道每个行列式都是一个超键，因为模式在 BCNF ）。

所以我们必须证明，如果关系在 3NF 中，那么它也在 BCNF 中。

现在考虑唯一的依赖，{X->A}。对于 3NF 的定义，要么X是超键，要么A是素数。

在第一种情况下，如果X是一个超键，我们知道模式也在 BCNF 中。

因此，我们只需要检查X不是（超）键并且A是素数的情况。我们可以通过以下步骤证明这种情况是不可能的。

我们只有两种可能性，要么X包含A，要么不包含。

1. 如果X包含A，那么这个依赖是微不足道的，并且由于没有其他依赖，X是一个键，这违反了我们的假设，所以我们有一个矛盾。

2. 另一方面，如果X不包含在 中A，则又X是一个键，这再次与我们的假设相矛盾。

最后，请注意，在这个证明中，我假设R的一部分中没有其他属性XU{A}，否则这些其他属性应该存在于关系的任何键中，并且至少应该与它们存在另一个依赖关系。