monads - 自由单子是教堂数字吗？

Question

一位评论员最近表示：

自由单子是教堂数字——只是使用（endo-）函子而不是函数！

他继续解释这句话：

它们都是由 0 - n 次组成的 endofunct(ion|or)

我知道教堂数字是一组匿名函数组合，每个数字都有一个组合。我只是不明白这如何适用于 Free Monads。

我的问题是：自由单子是教堂数字吗？

Answer 1

有点。

教会数字的概括是数字n在f^n哪里f是某个类别中的自同态（域和共域是同一对象的箭头） ，f^n意思是“f与自身n时间组合”。普通的 Church 数字属于集合的类别，其中箭头是功能，因此例如数字3应用于fand xis f(f(f(x)))。例如，如果f(x) = x + 10，那么3 f 0是30。

在类别的范畴中，箭头是函子。在那里，3应用于某些函子f和对象x（例如，类型）的数字又是f(f(f(x))). 例如，如果f是类型构造函数f x = Int => x，那么3 f String是Int => Int => Int => String，接受三个Int参数并返回 a的函数的类型String。

现在，对于 functor f，Free f是由生成的自由 monadf，其中类型的实例Free f x只是 anx或 an f (Free f x)。所以它会有一个类型的表格f(f(f(...(x)))，一个由零个或多个fs组成的应用到x。

所以这并不是说“自由单子是教会数字”，而是自由单子是某个函子上的类型结构，而该函子上的教会数字嵌入在该类型中。