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我正在尝试解决以下不等式约束：

给定 N 个股票的时间序列数据，我试图构建一个投资组合权重向量以最小化收益的方差。

目标函数：

min w^{T}\sum w
s.t. e_{n}^{T}w=1
\left \| w \right \|\leq C

其中w是权重向量，\sum是协方差矩阵，e_{n}^{T}是 1 的向量，C是常数。其中第二个约束 ( \left \| w \right \|) 是不等式约束（权重的 2 范数）。

我尝试使用该nloptr()函数，但它给了我一个错误：提供的算法不正确。我不确定如何选择正确的算法，也不确定这是否是解决此不等式约束的正确方法。

只要能解决这个限制，我也愿意使用其他功能。

这是我尝试的解决方案：

data <- replicate(4,rnorm(100))
N <- 4
fn<-function(x) {cov.Rt<-cov(data); return(as.numeric(t(x) %*%cov.Rt%*%x))}     
eqn<-function(x){one.vec<-matrix(1,ncol=N,nrow=1); return(-1+as.numeric(one.vec%*%x))}


C <- 1.5
ineq<-function(x){
  z1<- t(x) %*% x
  return(as.numeric(z1-C))  
}   

uh <-rep(C^2,N)
lb<- rep(0,N)
x0 <- rep(1,N)

local_opts <- list("algorithm"="NLOPT_LN_AUGLAG,",xtol_rel=1.0e-7)
opts <- list("algorithm"="NLOPT_LN_AUGLAG,",
             "xtol_rel"=1.0e-8,local_opts=local_opts)
sol1<-nloptr(x0,eval_f=fn,eval_g_eq=eqn, eval_g_ineq=ineq,ub=uh,lb=lb,opts=opts)
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这看起来像一个简单的 QP（二次规划）问题。使用 QP 求解器而不是通用 NLP（非线性编程）求解器（不需要导数、函数等）可能更容易。R 有一个称为 quadprog 的 QP 求解器。为 quadprog 设置问题并非完全简单，但这里有一个非常相似的投资组合示例，其中包含完整的 R 代码来展示如何解决这个问题。它具有相同的目标（最小化风险）、相同的预算约束以及下限和上限。该示例只是有一个额外的约束，指定了最低要求的投资组合回报。

实际上我误读了这个问题：第二个约束是 ||x|| <= C。我认为我们可以将整个模型表示为：

在此处输入图像描述

这实际上看起来像一个凸模型。我可以用 Cplex、Gurobi 和 Mosek 等“大”求解器来解决它。这些求解器支持凸二次约束问题。我也相信这可以表述为锥编程问题，开辟更多可能性。

这是我在 R 中使用包 cccp 的示例。 cccp 代表 Cone Constrained Convex Problems 并且是CVXOPT的一个端口。

在此处输入图像描述

于 2015-12-09T16:58:47.800 回答
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权重的 2 范数没有意义。它必须是 1 范数。这本质上是对投资组合杠杆的约束。1-norm(w) <= 1.6 意味着投资组合最多为 130/30（抱歉在这里使用金融语言）。不过，您想阅读有关二次锥的信息。w'COV w = w'L'Lw (Cholesky decomp)，因此 w'Cov w = 2-Norm (Lw)^2。因此，您可以引入线性约束 y - Lw = 0 和 t >= 2-Norm(Lw) [这定义了一个二次锥体）。现在你最小化 t。1-范数也可以用圆锥代替，如 abs(x_i) = sqrt(x_i^2) = 2-norm(x_i)。因此，为向量 x 的每个元素引入一个二次圆锥。

于 2016-01-07T11:45:41.867 回答