c++ - C++ 泰勒级数估计初值微分方程精度

Question

我被要求使用泰勒级数方法来估计 的初始值问题x(t)'= tx(t) + t^4, x(5) = 3。我必须编写代码来显示使用泰勒级数方法的估计值0<=t<=5。

我被教导从 开始t=0，使用初始条件 att=0来查找x0，然后通过计算并找到对应于的下一个t=5以0.01递增的方式上升。x'', x''', etcxt+0.01

我如何在 c++ 中向后执行此过程，如从开始t=5并向下递增到 0 ？

Answer 1

您可以使用这样的 while 循环：

double t = 5.0;
while (t > 0.0) {
       /* Your Code of Taylor function */
       t = t -0.01;
}

此代码从值 5.0 开始，并在循环的每次迭代中将 t 递减 0.01。当 t 值达到 0.0 时循环结束

Answer 2

这不是问题，您需要关注的是解决方案的泰勒展开式，一旦完成，只需计算每个值的函数即可。要找到泰勒展开，t=5你知道x(5)=3，然后你x'(5)直接从微分方程中找到，并通过反复对方程的两边进行微分来找到后续导数。您会发现该t^4术语最终会消失，其余的将产生一个简单的递归公式。

#include <cstdio>

double c[] = { 3,
               625,
               500,
               300,
               120,
               24 };

double x(double t) 
{
    int j;
    double cc = 0;
    double cp = 0;
    double tj = 1;
    double s = 0;

    for(j=0; j<100; j++) {
        cc = (j-1)*cp + 5*cc;

        if( j < sizeof(c)/sizeof(c[0]) )
            cc += c[j];

        if( j > 0 )
            cc /= j;

        s += cc * tj;
        //printf("[%2d] %f %f\n", j, cc, s);

        tj *= (t-5);
    }

    return s;
}

int main()
{
    double t;

    for( t = 0.0; t<5.005; t+=0.01 )
        printf("%f %f\n", t, x(t));

    return 0;
}

数组c是由初始值和 的导数产生的项t^4。这些术语在 之后消失24。100由于扩展似乎已经收敛，因此已经根据经验找到了循环时间。