matlab - 在 MATLAB 中求解二次优化

Question

我有一个无约束的二次优化问题 - 我必须找到 u 来最小化范数 (u^H * A_k *u - d_k)) 其中 A_k 是 4x4 矩阵 (k=1,2...180) 并且 u 是 4x1 向量（H 表示厄米特）。

MATLAB 中有几个函数可以解决优化问题，但我无法弄清楚我需要为我的 OP 使用的方法。如果有人给我一些提示或建议以在 MATLAB 中解决此问题，我将不胜感激。

Answer 1

数学预习：

如果 A 是对称的、正定的，则​​矩阵 A 定义了一个范数。这个范数称为 A 范数，写作 ||x||_A = x' A x。您的问题minimize (over x) |x'*A*x - d|等同于搜索x“A 范数”等于的向量d。通过简单地按比例放大或缩小任何非零向量直到它具有适当的大小，这样的向量很容易找到。

1. 任意选择y（不能全为零）。例如。y = [1; zeros(n-1, 1)]; 或y = rand(n, 1)；
2. 求解一些标量 c 使得x = c*y和x'Ax=d。代入我们得到c^2 y'Ay=d：。

寻找答案的简单程序：

y = [1; zeros(n-1)];   %Any arbitrary y will do as long as its not all zero
c = sqrt(d / (y'*A*y)) 
x = c * y`

x现在解决了你的问题。无需工具箱！

Answer 2

options = optimoptions('fminunc','GradObj','on','TolFun',1e-9,'TolX',1e-9);
x = fminunc(@(x)qfun(x,A,d),zeros(4,1),options);

和

function [y,g]=qfun(x,A,d)
y=(x'*A*x-d);
g=2*y*(A+A')*x;
y=y*y;

似乎工作。