matlab - 不同参数的指数分布求和

Question

我刚刚计算了具有不同 lambda 的两个指数分布的总和。

众所周知，指数分布的求和是 Erlang(Gamma) 分布。

但是，当 lamdbas 不同时，结果会略有不同。

不管怎样，看看下面的等式。

现在，问题是 (alpha_1 λ_2-alpha_2 λ_1)。

(alpha_1 λ_2-alpha_2 λ_1) 变为 0

因此，最后两项趋于无穷......

真的吗？？

我制作了一些简单的matlab代码进行验证。

clc;
clear;
mu=[1 2];
a1 = mu(1)/(mu(1)+mu(2));
a2 = mu(2)/(mu(1)+mu(2));
n = 10^6;
x = exprnd(mu(1), [1, n]);
y = exprnd(mu(2), [1, n]); 
z = a1*x + a2*y;
figure
histfit(z, 100 ,'gamma')`

该图是 Z=alpha_1 * X + alpha_2 * Y 的 pdf。

这种情况是 λ_1 = 1，λ_1=2。（红线是伽马分布。）

matlab的结果显示随机变量Z不是无限值。

我的计算中有什么问题？

Answer 1

我在积分计算中遇到了问题。在第 6 行，e^-(lambda2-alpha2*lambda1/alpha1) = 1，因此，第 7 行没有项 alpha1/(alpha1*lambda2-alpha2*lambda1)。