coq - Coq 证明策略

Question

我是 Coq 证明系统的初学者（大约 4 天）。我已经很努力了，但我无法证明以下内容。

forall a b c : nat, S (S (a + b)) = S (S (a + c)) -> b = c.

据我所知，我们需要证明 + 的双射性，这样我们才能以某种方式使用f(b) = f(c) -> b = c. 我该怎么做呢 ？

Answer 1

使用SearchAbout plus或者SearchPattern (_ + _ = _ + _ -> _)您可以检查关于+. 但是如果你没有导入正确的模块，那可能就没用了。我通常做的是去看在线文档。这是 plus 的文档，您可以对 and 有一个特别的plus_reg_l了解plus_reg_r。

Answer 2

正如 Vinz 的回答所指出的，您可以plus直接在 Coq 标准库中找到关于双射性定理。您也可以使用原始策略和数学归纳法直接证明它a，如下所示。

Theorem plus_l_bij: forall a b c : nat, a + b = a + c -> b = c.
Proof.
induction a as [|a'].
  intros b c H. apply H.
  intros b c H. simpl plus in H. inversion H. apply IHa' in H1. apply H1.
Qed.

之后induction a，基本情况a = 0是微不足道的。

第二种情况的证明a = S a'，重新排列

S a' + b = S a' + c 

至

S (a' + b) = S (a' + c)

然后S使用其双射性删除构造函数。最后，可以应用归纳假设来完成证明。