database - Natural Join 是否对 Union 进行分配？

Question

给定三个关系 R、S 和 T，是否真的：

R ⋈ (SUT) = (R ⋈ S) U (R ⋈ T)

如果是，我们能证明吗？

Answer 1

是的。

假设我们有 3 个关系 R、S、T。

首先，你应该知道 S 和 T 必须是并集兼容才能执行并集操作，这意味着两个关系具有相同的字段。

证明左 -> 右：

假设一行 r属于左操作集。那么，对于那些最初来自 S 或 T 的值，它们必须出现在关系 S 或 T 中。不失一般性，假设它们来自 S。那么，行 r属于 R ⋈ S。

证明右 -> 左：

假设行 r'属于右操作集。那么，r 要么属于 R ⋈ S 要么属于 R ⋈ T。

不失一般性，假设 r 属于 R ⋈ S。那么，对于那些最初来自 S 的值，它也属于 SU T中的一行。

因此，r' 属于 R ⋈ (SUT) 。

因此，这个命题是正确的。

Answer 2

在 Set 语义下，如 Tipton 的回答所示，这成立，但在袋语义下，因为它们被 SQL 使用，它不是。考虑反例：

    > create table R(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 5 msec.
    > create table S(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > create table T(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 2 msec.
    > insert into R values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > insert into R values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 0 msec.
    > insert into S values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > insert into T values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > select * from (select * from R JOIN (select * from S UNION select * from T) u ON R.A=u.A);
    a|a
    a|a
    --- [0|Column names ---
    [1|A [2|A:1 
    Query executed and displayed **2 rows** in 0 min. 0 sec 11 msec.
    > select * from R JOIN S ON R.A=S.A UNION select * from R JOIN T ON R.A=T.A;
    a|a
    --- [0|Column names ---
    [1|A [2|A 
    Query executed and displayed **1 row** in 0 min. 0 sec 20 msec.