我有点困惑，需要有人来纠正我。让我们概述一下我目前的理解：
内函子在哪里E，A是某个类别：
E : A -> A.
既然 Haskell 中的所有类型和态射都在Hask范畴内，那么 Haskell 中的任何函子不也是endofunctor吗？F : Hask -> Hask.
我有一种很好的感觉，我错了，并且以某种方式过度简化了这一点，我希望有人告诉我我是多么的白痴。谢谢。
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您可能想澄清您是在询问“Haskell 中的函子”还是Functors. 当在 Haskell 中使用类别理论术语时，并不总是很清楚所假设的类别。
但是，是的，默认假设是Hask，它被认为是具有函数作为态射的 Haskell 类型的类别。在这种情况下，Hask 上的 endofunctor F会将任何类型 A 映射到类型 F(A)，并将两种类型 A 和 B 之间的任何函数f 映射到某些类型 F(A) 和 F(B) 之间的函数 F( f ) .
如果我们将自己限制为仅将任何类型映射a到具有 kind 的类型构造函数的类型的(f a)那些endofunctors ，那么我们可以将函数的关联映射描述为具有 type 的高阶函数，这当然是称为的类型类.f* -> *(a -> b) -> (f a -> f b)Functor
然而，人们可以很容易地想象在Hask上表现良好的内函子不能（直接）写为 的实例Functor，例如将类型映射a到的函子Either a t。虽然从Hask到某个其他类别的函子显然没有多大意义，但考虑从Hask到Hask op的（逆变）函子是合理的。
除此之外，实例Functor必须从整个Hask类别映射到它的某个子集，因此也形成了一个类别。但是在Hask的子集之间讨论函子也是合理的。例如，考虑一个将类型发送到.Maybe a[a]
您可能希望仔细阅读该category-extras包，它提供了一些嵌入在Hask中的类别理论启发的结构，而不是假设它的全部。
于 2010-07-17T22:13:25.843 回答
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即使最终你操纵Hask，也有很多其他类别可以建立在 上Hask，这对于手头的问题可能是有意义的：
Hask^op，Hask所有箭头都颠倒了Hask * Hask, 其上的函子是双函子- 逗号类别，即。对象是固定对象的
a态射，态射是交换三角形 - 函子范畴，态射是自然变换
- 代数类别
- 单曲面类别
- 克莱斯利类别
- ...
获取 Mac Lane 的Categories for the Working Mathematician的副本以获得定义，并尝试自己找到他们在 Haskell 中解决的问题。尤其是伴随函子（它们是正确类别中的初始/终止对象）及其与单子的关系。
您会看到，即使有一个大类别（Hask或者“Hask使用正确的箭头/产品/...”，它封装了 Haskell 的语言选择，例如非严格性和惰性），正确派生类别是富有表现力的。
于 2010-07-19T09:07:42.877 回答
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在论文“Monads need not be endofunctors”中可以找到一个可能相关（或至少有趣）的专门关于 monads 的讨论：
于 2010-07-17T22:30:33.843 回答