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在这个对“单子可以是共单子吗？”的回答中 我们看到

每个替代函子上的Cofree Comonad都会产生一个 Monad。

什么是双重的？是否有一类函子可以自动使自由单子成为共单子？

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是的，您可以对构造进行二元化，但结果类的唯一成员是空函子，它的自由单子（恒等单子）确实也是一个共单子。不是很令人兴奋。

您所指的构造实际上几乎不需要经过，所以让我们放弃 Hask 的包袱，并按照以下一般性工作。让

  • (C, ⊗, 1) 是幺半群

  • F : C -> C 一个幺半群值函子，即有映射 1 -> FX 和 FX ⊗ FX -> FX 在 X 中是自然的，并且是单位的和结合的

定义 TX = X ⊗ F(TX)。假设这个递归定义在某种程度上是有意义的，我们可以在 T 上进行递归定义。然后我们可以将 T 变成具有以下结构映射的 monad：

  • 单位由

        X = X ⊗ 1
     -> X ⊗ F(TX)            [unit map of F]
      = TX

  • 加入由

    T(TX) = TX ⊗ F(TTX)
      = X ⊗ F(TX) ⊗ F(TTX)
     -> X ⊗ F(TX) ⊗ F(TX)    [join recursively under F]
     -> X ⊗ F(TX)            [multiplication of F]
      = TX

当 ⊗ 是笛卡尔积时，此构造是您所指的 Alternative 函子上的自由共单子上的单子结构。事实上，Alternative 结构的 Applicative 部分是无关紧要的。只需要 Alternative 本身的类方法（加上 Functor）：一个幺半群值仿函数。元素方面，构成上述连接的步骤由下式给出

(x :< xs) :< xss  ->  (x :< xs, xss)
                  ->  (x, xs, xss)
                  ->  (x, xs, fmap join xss)
                  ->  (x, xs <|> fmap join xss)
                  ->  x :< (xs <|> fmap join xss)

这很容易看出（通过设置k = id）同意

(a :< m) >>= k = case k a of
                   b :< n -> b :< (n <|> fmap (>>= k) m)

由于我们的初始结构非常小，因此很容易对偶。所以让 (C, ⊗, 1) 继续是一个幺半群但现在假设

  • G : C -> C a comonoid-valued functor，即在 X 中有自然映射 GX -> 1 和 GX -> GX ⊗ GX

然后我们可以定义 UX = X ⊗ G(UX) （再次假设这在某种程度上是有道理的）并通过对偶结构为 U 配备一个共胞的结构。从某种意义上说，这是这里的真正答案，但为了解决您的具体问题，我们应该考虑一些具体选择 ⊗ 会发生什么。

首先假设⊗又是笛卡尔积。然后每个函子 G 都以独特的方式进行共模值（联合性迫使 GX -> GX x GX 成为对角线）。所以对于任何函子 G，我们得到一个共单子 UX = X x G(UX)。事实上，这只是函子构造上通常的 cofree 共单胞（证明你的口号中的“cofree comonad”部分是正确的；当 F 是幺半群值时，我们可以设置 G = F 并且 G 自动是共模态，然后 T和 U 具有相同的底层函子）。

对偶，如果 ⊗ 是 ⨿ 的余积，那么任何对 ⨿ 具有共模值的 G 也以独特的方式对 ⨿ 具有幺半值，所以 UX = X ⨿ G(UX) 也是 G 上的自由单子，并且是共生。

但是在 Hask 中，⨿ 的单位对象是空类型 0，并且 G 的单位应该具有类型 GX -> 0，这只有当所有 X 的 GX = 0 时才有可能（这在任何笛卡尔封闭类别中都是正确的） . 因此，在 Hask 中没有这种构造的有趣示例。这种缺乏对称性是类似于 Set 的范畴的典型现象。

于 2015-10-08T03:46:29.137 回答