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我一直在使用以下数据结构来表示 Haskell 中的命题逻辑：

data Prop 
    = Pred  String
    | Not   Prop
    | And   Prop Prop
    | Or    Prop Prop
    | Impl  Prop Prop
    | Equiv Prop Prop
    deriving (Eq, Ord)

欢迎对此结构提出任何意见。

但是，现在我想扩展我的算法来处理 FOL - 谓词逻辑。在 Haskell 中表示 FOL 的好方法是什么？

我见过的版本 - 几乎 - 上面的扩展，以及基于更经典的上下文无关语法的版本。有没有这方面的文献，可以推荐？

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这称为高阶抽象语法。

第一个解决方案：使用 Haskell 的 lambda。数据类型可能如下所示：

data Prop 
    = Not   Prop
    | And   Prop Prop
    | Or    Prop Prop
    | Impl  Prop Prop
    | Equiv Prop Prop
    | Equals Obj Obj
    | ForAll (Obj -> Prop)
    | Exists (Obj -> Prop)
    deriving (Eq, Ord)

data Obj
    = Num Integer
    | Add Obj Obj
    | Mul Obj Obj
    deriving (Eq, Ord)

你可以写一个公式为：

ForAll (\x -> Exists (\y -> Equals (Add x y) (Mul x y))))

这在The Monad Reader文章中有详细描述。强烈推荐。

第二种解决方案：

使用类似的字符串

data Prop 
    = Not   Prop
    | And   Prop Prop
    | Or    Prop Prop
    | Impl  Prop Prop
    | Equiv Prop Prop
    | Equals Obj Obj
    | ForAll String Prop
    | Exists String Prop
    deriving (Eq, Ord)

data Obj
    = Num Integer
    | Var String
    | Add Obj Obj
    | Mul Obj Obj
    deriving (Eq, Ord)

然后你可以写一个公式

ForAll "x" (Exists "y" (Equals (Add (Var "x") (Var "y")))
                               (Mul (Var "x") (Var "y"))))))

优点是您可以轻松显示公式（很难显示Obj -> Prop函数）。缺点是您必须在碰撞（~alpha 转换）和替换（~beta 转换）上编写更改名称。在这两种解决方案中，您都可以使用 GADT 而不是两种数据类型：

 data FOL a where
    True :: FOL Bool
    False :: FOL Bool
    Not :: FOL Bool -> FOL Bool
    And :: FOL Bool -> FOL Bool -> FOL Bool
    ...
     -- first solution
    Exists :: (FOL Integer -> FOL Bool) -> FOL Bool
    ForAll :: (FOL Integer -> FOL Bool) -> FOL Bool
    -- second solution
    Exists :: String -> FOL Bool -> FOL Bool
    ForAll :: String -> FOL Bool -> FOL Bool
    Var :: String -> FOL Integer
    -- operations in the universe
    Num :: Integer -> FOL Integer
    Add :: FOL Integer -> FOL Integer -> FOL Integer
    ...

第三种解决方案：使用数字表示变量绑定的位置，较低的意思是更深。例如，在 ForAll (Exists (Equals (Num 0) (Num 1))) 中，第一个变量将绑定到 Exists，第二个变量将绑定到 ForAll。这被称为 de Bruijn 数字。看我不是一个数字 - 我是一个自由变量。

于 2010-07-12T14:54:54.177 回答
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在这里添加一个答案似乎是合适的，以提及Axelsson 和 Claessen 在 ICFP 2013 上提出并由 Chiusano 在他的博客中简要描述的功能性珍珠Using Circular Programs for Higher-Order Syntax。

这个解决方案巧妙地结合了 Haskell 语法的简洁用法（@sdcvvc 的第一个解决方案）和轻松打印公式的能力（@sdcvvc 的第二个解决方案）。

forAll :: (Prop -> Prop) -> Prop
forAll f = ForAll n body
  where body = f (Var n)
        n    = maxBV body + 1

bot :: Name
bot = 0

-- Computes the maximum bound variable in the given expression
maxBV :: Prop -> Name
maxBV (Var _  ) = bot
maxBV (App f a) = maxBV f `max` maxBV a
maxBV (Lam n _) = n

该解决方案将使用如下数据类型：

data Prop 
    = Pred   String [Name]
    | Not    Prop
    | And    Prop  Prop
    | Or     Prop  Prop
    | Impl   Prop  Prop
    | Equiv  Prop  Prop
    | ForAll Name  Prop
    deriving (Eq, Ord)

但允许您将公式编写为：

forAll (\x -> Pred "P" [x] `Impl` Pred "Q" [x])
于 2015-03-28T12:49:28.790 回答