geometry - 如何从一个笛卡尔系统转换为另一个

Question

2D 问题：我在笛卡尔系统中测量三角形 3 个端点的位置。现在我将系统（三角形）移动到另一个笛卡尔系统并测量两端的位置。如何根据这些数据识别第三端的位置？

谢谢！（抱歉英语不好作为第二个角度）

score 2 · Accepted Answer

这个问题是8年前的问题，虽然有点模糊，但我认为可以相当简洁地回答，如果我遇到它，那么也许其他人会遇到它并从实际的真实答案中获得一些好处而不是被接受的那个。（我为不小心投票赞成接受的“答案”而道歉。我最初反对它，但意识到这个问题实际上有点含糊，并试图扭转我的反对票。可悲的是，由于我的菜鸟代表，这似乎已经转化为实际的赞成票。它不值得反对，但也不值得赞成。）

导致了

因此，假设您有一个简单的笛卡尔网格或参考框架：

在那个 10x10 参考框架内，您有一个三角形对象：

我没有标记图像，但是这个三角形的 (a, b, c) 坐标显然是 a=(0,0)、b=(0,4) 和 c=(4,0)。

现在假设我们在笛卡尔参考系（网格）内移动该三角形：

我们已经移动了三角形 x=x+1 和 y=y+1，因此，假设“b”和“c”的新坐标是 b=(1,5) 和 c=(5,1 )，什么是“a”？

很明显，“a”将是 (1,1)，但是看数学我们可以看到

Δb=b2-b1

Δb=(x2,y2)-(x1,y1)

Δb=(1,5)-(0,4)

Δb=(1-0, 5-4)

∴Δb=(1,1) 或 (+1,+1)

如果我们对两个“c”坐标做同样的事情，我们会得到相同的答案，Δc 也等于 (1,1)，因此它是平移（线性运动）而不是旋转，这意味着 Δa 也是(1,1)！所以：

a2=a1+Δa

a2=(0,0)+(+1,+1)

a2=(0+1,0+1)∴</p>

∴a2=(1,1)

如果你看一下图像，你可以清楚地看到“a”的新位置在 (1,1)。

翻译

但这只是引导。您的问题是从一个笛卡尔参考系转换为另一个。考虑您的 10x10 参考框架位于更大的参考框架内：

我们可以将您的 10x10 网格称为“局部”参考框架，它可能存在于“全局”参考框架中。在这个全局参考框架内实际上可能有许多其他“本地”参考框架：

但是为了简单起见，我们当然只考虑一个笛卡尔参考系中的另一个：

现在我们需要在“全局”参考框架内翻译“本地”参考框架：

所以，“局部”，我们三角形的 (a,b,c) 坐标仍然是 {(0,0),(0,4),(4,0)}，但是我们的局部参考系的原点未与全局参考系的原点对齐！我们的局部参考系已经移动（+3.5，+1.5）！

现在我们三角形的位置是什么？！

您基本上以相同的方式处理它。我们的“局部”参考系的相对位置是 (+3.5,+1.5)，我们将其称为 Δf 表示帧中的差异，因此相对于全局原点的三角形将是 ag=al+Δf, bg=bl+Δf , 和 cg=cl+Δf，其中 (ag,bg,cg) 是全局参考系内的坐标， (al,bl,cl) 是局部参考系内的坐标。