5

我有一个房间列表，房间的最大平方英尺，程序，程序的最大平方英尺，以及房间匹配（匹配＃）预期程序使用的值。在帮助下，我能够最大限度地利用每个房间一个程序的匹配 # 和平方英尺。但是，我想将这一分析更进一步，并允许同一房间内的多个节目或同一节目的倍数，如果它具有最高匹配#，只要倍数仍然符合平方英尺要求。此外，我想总体上告诉 lpSolve，我只想要整个建筑中的“x”个办公室、“y”个工作室等。到目前为止，这是我的数据和代码：

program.size <- c(120,320,300,800,500,1000,500,1000,1500,400,1500,2000)
room.size <- c(1414,682,1484,2938,1985,1493,427,1958,708,581,1485,652,727,2556,1634,187,2174,205,1070,2165,1680,1449,1441,2289,986,298,590,2925)
(obj.vals <- matrix(c(3,4,2,8,3,7,4,8,6,4,7,7,
                  3,4,2,8,3,7,4,8,6,4,7,7,
                  4,5,3,7,4,6,5,7,5,3,6,6,
                  2,3,1,7,2,6,3,7,7,5,6,6,
                  4,5,3,7,4,6,5,7,5,3,6,6,
                  3,6,4,8,5,7,4,8,7,7,7,7,
                  3,4,2,8,3,7,4,8,6,4,7,7,
                  4,5,3,7,4,6,5,7,5,3,6,6,
                  6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6,
                  6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6,
                  5,6,6,6,5,7,8,6,4,2,5,5,
                  6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6,
                  6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6,
                  3,4,4,8,3,9,6,8,6,4,7,7,
                  3,4,2,6,3,5,4,6,6,4,5,5,
                  4,5,3,5,4,4,5,5,5,3,4,4,
                  5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
                  5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
                  4,5,5,7,4,8,7,7,5,3,6,6,
                  5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
                  3,4,2,6,3,5,4,6,6,4,5,5,
                  5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
                  5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
                  5,4,4,6,5,5,6,6,6,6,7,5,
                  6,5,5,5,6,4,5,5,5,7,6,4,
                  4,5,3,7,4,6,5,7,7,5,6,6,
                  6,5,5,5,6,4,5,5,5,7,6,4,
                  3,4,4,6,3,7,6,6,6,4,5,5), nrow=12))
rownames(obj.vals) <- c("Enclosed Offices", "Open Office", "Reception / Greeter", "Studio / Classroom",
                    "Conference / Meeting Room", "Gallery", "Public / Lobby / Waiting", 
                    "Collaborative Space", "Mechanical / Support", "Storage / Archives", 
                    "Fabrication", "Performance")
(obj.adj <- obj.vals * outer(program.size, room.size, "<="))


nr <- nrow(obj.adj)
nc <- ncol(obj.adj)

library(lpSolve)
obj <- as.vector(obj.adj)
con <- t(1*sapply(1:nc, function(x) rep(1:nc == x, each=nr)))
dir <- rep("<=", nc)
rhs <- rep(1, nc)
mod <- lp("max", obj, con, dir, rhs, all.bin=TRUE)

final <- matrix(mod$solution, nrow=nr)

所以现在我的问题是如何让求解器最大限度地使用平方英尺并匹配每个房间（列）内的 # 并允许多个相同的程序或程序组合来完成此任务？我知道我必须取消“mod”中的“<= 1”限制，但我不知道如何让它在每个房间中找到最合适的位置，然后最终整体上。

房间 [,1] 的解决方案是：

$optimum
33

并且它将尝试在房间内安装 11 个封闭式办公室，这些办公室的最佳匹配得分远高于 1 个协作空间（8 个匹配）和 1 个存储/档案（4 个匹配），总共 12 个匹配。

因此这引出了我的下一个问题，即限制我的解决方案矩阵中某些程序的总数。我想它会包括某种 

as.numeric(data$EnclosedOffices "<=" 5)

但我也不知道如何限制它。这些数字对于所有程序都是不同的。

感谢您提供任何和所有帮助，并随时要求任何澄清。

更新： 约束

  • 最大化每个房间的匹配 # (obj.vals)。
  • 最大化每个 room.size 平方英尺内的 program.size 平方英尺。通过多次使用相同的程序（5 个封闭办公室）或组合程序（1 个协作空间和 1 个表演）来做到这一点。
  • 限制和/或强制解决方案中返回的程序数量。只要不超过我在所有房间中为该程序提供的最大数量，这些程序就可以在房间之间进行拆分。（在所有 28 列中只能选择 5 个封闭式办公室、8 个工作室/教室、1 个制造等。
4

1 回答 1

5

如果您使用 R 包lpSolveAPI（lpSolve 的包装器），那么它会变得更容易一些。首先，看一下数学公式（整数程序），然后我会向您展示解决问题的代码。

公式

让X_r_p是采用正整数值的决策变量。

X_r_p=p分配给房间的类型程序数r （在所有问题中将有 28*12=336 个决策变量）

目标函数

最大化匹配分数

Max sum(r) sum(p) C_r_p * X_r_p# 这里C_r_p是p分配给房间r的分数

受制于

房间面积限制约束

Sum(p) Max_area_p * X_r_p <= Room Size (r) for each room r

（我们将有 28 个这样的约束）

限制程序数 约束

Sum(r) X_r_p <= Max_allowable(p) for each program p

（我们将有 12 个这样的约束）

 X_r_p >= 0, Integer

这就是所有的公式。336 列和 40 行。

在 R 中实现

这是 R 中的一个实现，使用lpSolveAPI. 注意：由于 OP 没有在建筑物中提供 max_allowable 程序，因此我生成了自己的数据max_programs.

program.size <- c(120,320,300,800,500,1000,500,1000,1500,400,1500,2000)
    room.size <- c(1414,682,1484,2938,1985,1493,427,1958,708,581,1485,652,727,2556,1634,187,2174,205,1070,2165,1680,1449,1441,2289,986,298,590,2925)
    (obj.vals <- matrix(c(3,4,2,8,3,7,4,8,6,4,7,7,3,4,2,8,3,7,4,8,6,4,7,7,
4,5,3,7,4,6,5,7,5,3,6,6,2,3,1,7,2,6,3,7,7,5,6,6, 4,5,3,7,4,6,5,7,5,3,6,6,
3,6,4,8,5,7,4,8,7,7,7,7,3,4,2,8,3,7,4,8,6,4,7,7, 4,5,3,7,4,6,5,7,5,3,6,6,
6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6,6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6, 5,6,6,6,5,7,8,6,4,2,5,5,
6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6, 6,7,5,7,6,6,7,7,5,3,6,6, 3,4,4,8,3,9,6,8,6,4,7,7,
3,4,2,6,3,5,4,6,6,4,5,5, 4,5,3,5,4,4,5,5,5,3,4,4, 5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7, 4,5,5,7,4,8,7,7,5,3,6,6, 5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
3,4,2,6,3,5,4,6,6,4,5,5, 5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7, 5,6,4,8,5,7,6,8,6,4,7,7,
5,4,4,6,5,5,6,6,6,6,7,5, 6,5,5,5,6,4,5,5,5,7,6,4, 4,5,3,7,4,6,5,7,7,5,6,6,
6,5,5,5,6,4,5,5,5,7,6,4, 3,4,4,6,3,7,6,6,6,4,5,5), nrow=12))
rownames(obj.vals) <- c("Enclosed Offices", "Open Office", "Reception / Greeter", "Studio / Classroom",
                        "Conference / Meeting Room", "Gallery", "Public / Lobby / Waiting", 
                        "Collaborative Space", "Mechanical / Support", "Storage / Archives", 
                        "Fabrication", "Performance")

对于 12 个程序中的每一个，让我们设置可以分配给所有组合的所有房间的最大重复次数。请注意，这是我添加的内容，因为 OP 未提供此数据。（限制他们被分配到太多房间。）

max_programs <- c(1,2,3,1,5,2,3,4,1,3,1,2)
    
library(lpSolveAPI)

nrooms <- 28
nprgs <- 12
ncol = nrooms*nprgs

lp_matching <- make.lp(ncol=ncol)
#we want integer assignments
set.type(lp_matching, columns=1:ncol, type = c("integer"))

# sum r,p Crp * Xrp
set.objfn(lp_matching, obj.vals) #28 rooms * 12 programs
lp.control(lp_matching,sense='max')

#' Set Max Programs constraints
#' No more than max number of programs over all the rooms
#' X1p + x2p + x3p ... + x28p <= max(p) for each p
Add_Max_program_constraint <- function (prog_index) {
  prog_cols <- (0:(nrooms-1))*nprgs + prog_index
  add.constraint(lp_matching, rep(1,nrooms), indices=prog_cols, rhs=max_programs[prog_index])
}
#Add a max_number constraint for each program
lapply(1:nprgs, Add_Max_program_constraint)

#' Sum of all the programs assigned to each room, over all programs 
#' area_1 * Xr1+ area 2* Xr2+ ... + area12* Xr12 <= room.size[r] for each room
Add_room_size_constraint <- function (room_index) {
  room_cols <- (room_index-1)*nprgs + (1:nprgs) #relevant columns for a given room
  add.constraint(lp_matching, xt=program.size, indices=room_cols, rhs=room.size[room_index])
}
#Add a max_number constraint for each program
lapply(1:nrooms, Add_room_size_constraint)

要解决这个问题：

> solve(lp_matching)
> get.objective(lp_matching)
 [1] 195
get.variables(lp_matching) # to see which programs went to which rooms

> print(lp_matching)
Model name: 
  a linear program with 336 decision variables and 40 constraints

您还可以将 IP 模型写入文件以对其进行检查：

#Give identifiable column and row names
rp<- t(outer(1:nrooms, 1:nprgs, paste, sep="_"))
rp_vec <- paste(abc, sep="")
colnames<- paste("x_",rp_vec, sep="")
# RowNames
rownames1 <- paste("MaxProg", 1:nprgs, sep="_")
rownames2 <- paste("Room", 1:nrooms, "AreaLimit", sep="_")
dimnames(lp_matching) <- list(c(rownames1, rownames2), colnames)

write.lp(lp_matching,filename="room_matching.lp")

希望有帮助。

根据后续问题更新

跟进问题 1：更改代码以确保每个房间至少有一个程序。

添加以下约束集：

X_r_p >= 1 for all r

注意：由于这是一个最大化问题，最优解应该默认遵守这个约束。换句话说，如果可以的话，它总是会为任何房间分配一个程序，假设分配的分数是正数。

跟进问题2：还有一个问题是我是否可以要求它总共有28个以上的程序？例如，如果我想要 28 个封闭式办公室，它们几乎都可以放在一个 2938 平方英尺的房间里。如果最大值设置为 28，我怎么能要求 R 仍然找到其他程序？

为了实现这个目标，你可以做一些不同的事情。根本没有所有程序的总和 <= 28 约束。（如果您在上面的解决方案中注意到，我的约束略有不同。）

约束：

 Sum(r) X_r_p <= Max_allowable(p) for each program p

仅限制每种程序类型的最大值。总数没有限制。此外，您不必为每种类型的程序编写一个这样的约束。仅当您想限制其出现时才编写此约束。

为了概括这一点，您可以为每种类型的程序的总数设置下限和上限。这将使您可以很好地控制分配。

min_allowable(p) <= sum(over r) X_r_p <= max_allowable(p) for any program type p
于 2015-08-05T00:04:02.097 回答