我正在尝试解决多项选择多维背包问题的一些（相对简单的）实例（其中有一组项目，其中每组只能获得一个项目，并且项目的重量是多维的以及背包容量）。关于配方和解决方案，我有两个问题：
- 如果两个组的项目数不同，是否可以在项目数较少的组中填入利润为零且权重=容量的项目，以矩阵形式表达问题？这会影响解决方案吗？具体来说，假设我有优化程序，其中第一组（项目集）可能有三个候选项目，第二组有两个项目（不同于三个），即它们具有以下形式：
最大化（超过 x_ij）{v_11 x_11 + v_12 x_12 + v_13 x_13 +
v_21 x_21 + v_22 x_22}
服从 {w^i_11 x_11 + w^i_12 x_12 + w^i_13 x_13 + w^i_21 x_21 + w^i_22 x_22 <= W^i, i=1,2
x_11 + x_12 + x_13 = 1, x_21 + x_22 = 1, x_ij \in {0,1} for all i and j.
在这种情况下是否可以添加一个值 v_23 = 0 和 w^1_23 = W^1, w^2_23 = W^2 的人工项目 x_23 以获得完整的产品 v_ij x_ij (i=1,2 j=1,2 ,3)?
- 鉴于（1）是可能的，有没有人尝试使用一些开源优化包（如 cvx）来解决实例？我知道 cplex，但对于非学术人员来说很难获得，而且我不确定 GLPK 是否支持变量组。