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给定一个 DAG 的邻接列表Map<Vertex, Set<Vertex>>，我想计算每个顶点的可达性（即是否存在从 u 到 v 的路径）。

static Map<Vertex, Set<Vertex>> reachability(Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList) {}

我知道使用 Floyd-Warshall 是可能的O(V^3) 

// Convert adjList to adjacency matrix mat
void reachability(boolean mat[][]) {
  final int N = mat.length;
  for (int k = 0; k < N; k++)
    for (int i = 0; i < N; i++)
      for (int j = 0; j < N; j++)
        mat[i][j] |= mat[i][k] && mat[k][j];
}

但是我有一个稀疏图（和一个邻接表），那么最快的方法是什么？

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一个O(V*(V+E))解决方案可能是从图中的每个节点执行一个简单的BFS并计算其可达性集。假设|E| << |V|^2（您说图形是稀疏的），这比 floyd-warshall 快得多（并且编码更简单）。

但是，这仍然不是最理想的，可以改进：

您的图是一个 DAG，因此您可以先在 中进行拓扑排序，O(V+E)然后从最后一个到第一个：

连接（v）=联合{连接（u）| 对于所有边 (v,u) } U {v}

这可以非常有效地计算出来，并给出时间复杂度的总答案，O(|V|+|E|+k)其中 |V| - 顶点数，|E| - 边数，k - 连接对的数量（仅限O(|V|^2)于最坏的情况）。

即使对于非稀疏图，此解决方案也会为您提供O(|V|^2)最差的性能。

伪代码：

V = [v0,v1,...,vn-1]
V = topological_sort(V) //O(V+E)
connect = new Map:V->2^V //Map<Vertex,Set<Vertex>> in java
i = n-1
while (i >= 0):
   let v be the vertex in V[i]
   connected[v].add(v)
   for each edge (v,u):
      //since the graph is DAG, and we process in reverse order
      //the value of connected[u] is already known, so we can use it.
      connected[v].addAll(connected[u])
于 2015-07-14T22:08:18.127 回答
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这是 Scala 中的一个简单O(|V||E|)解决方案（基本上，对于每个顶点，做一个 DFS）：

type AdjList[A] = Map[A, Set[A]]

def transitiveClosure[A](adjList: AdjList[A]): AdjList[A]  = {
  def dfs(seen: Set[A])(u: A): Set[A] = {
    require(!seen(u), s"Cycle detected with $u in it")
    (adjList(u) filterNot seen flatMap dfs(seen + u)) + u
  }
  adjList.keys map {u =>
    u -> dfs(Set.empty)(u)  
  } toMap
}

此处的可执行版本：http: //scalafiddle.net/console/4f1730a9b124eea813b992edebc06840

于 2015-07-16T17:56:10.543 回答