matlab - 使用实验数据进行双重积分

Question

我需要使用实验数据执行双重积分，但我的积分限制对于每个积分都是相同的，在这种情况下是时间。数学上我需要计算：

E [ a ₀ + ∫<sub>0 ^T a(t)dt ] = a + lim _{Tx → ∞} (1/T) ∫₀ ^T ∫<sub>0 ^t a dt dT

经过一番搜索，我到达了：

T = 0:0.1:600;
x = T;
A = rand(1,length(T)); % my data
pp_int = spline(T,A );
DoubleIntegration = integral(@(x)arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );

代码需要很长时间才能运行并提供巨大的价值。我认为我的问题是 Matlab 可能无法处理样条曲线，但我不知道如何解决。

Answer 1

首先，你不应该在一堆东西上使用同一个字母；您的代码很难阅读，因为必须弄清楚 T 在每个实例中的含义。

其次，纯数学有帮助：在改变变量和简单计算之后，双积分变成了单积分：

∫<sub>0 ^T ∫<sub>0 ^x a(t) dt dx = ∫<sub>0 ^T ∫<sub>t ^T a(t) dx dt = ∫<sub>0 ^T (Tt)*a( t) dt

我使用较小范围内的非随机数据进行演示：

T = 0:0.1:60;
x = T;
A = sin(T.^2); % my data
pp_int = spline(T,A );
tic
DoubleIntegration = integral(@(x) arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );
toc
tic
SingleIntegration = integral(@(t) (T(end)-t).*ppval(pp_int,t), 0, T(end));
toc
disp(DoubleIntegration)
disp(SingleIntegration)

输出：

Elapsed time is 27.751744 seconds.
Elapsed time is 0.007223 seconds.
   51.3593

   51.3593

结果相同，速度提高了 3800 倍。