geometry - 带有两个嘴的凹六边形的标准网格？

Question

我正在计划通过带有两个嘴的凹双对称六边形来可视化流动。

边 d1 的长度等于边 d2 的另一个长度的示例：

我最初在这里讨论的关于不规则六边形的命名。

有标准的网格工具，您可以在其中绘制自己的网格，但我想要一些标准库，这样我以后可以与其他人更好地合作进行流模拟。我没有在 MathCentral File Exchange 中找到任何 Hexagons 网格库。

是否有任何用于不规则六边形形状的标准网格库？我也对任何其他语言持开放态度，因为我可以阅读代码并将这些标准转换为 Matlab 库。

Answer 1

例如，您可以查看 Alexandra Baumgart 和 Hazuki Okuda 使用 Mathematica 完成的示例。这是通过Manipulate有效地创建基本 UI 来实现的。

代码：

Manipulate[
Grid[{{Show[
ParametricPlot3D[{1.25Cos[t], 1.25 Sin[t],s+2-2w},{s,0,.25},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Gray],Mesh->None, Lighting->"Neutral"], 
ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t],2.25-2w},{r,0,1.25},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Gray],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],
ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t],2-2w},{r,0,1.25},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Gray],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],
ParametricPlot3D[{1.25Cos[t], 1.25 Sin[t],s-2.25+2w},{s,0,.25},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Gray],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],
ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t],-2.25+2w},{r,0,1.25},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Gray],Mesh->None],
ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t],-2+2w},{r,0,1.25},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Gray],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],  
ParametricPlot3D[{(1-s/2) Cos[t],(1-s/2) Sin[t],Max[0,-s+2 ]},{s,Min[2-(2^(2/3) (2 \[Pi]-Min[2Pi,3 V((w^2)/(.04))])^(1/3))/\[Pi]^(1/3)-w,1.99],2},{t,0, 2 Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Hue[a]],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],
ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t],Max[0,(2^(2/3) (2 \[Pi]-Min[2Pi,3 V((w^2)/(.04))])^(1/3))/\[Pi]^(1/3)-w]},{r,0, .000000000001+w+((2^(2/3) (2 \[Pi]-Min[2Pi,3 V((w^2)/(.04))])^(1/3))/\[Pi]^(1/3)-w)/2},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1], Hue[a]],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],
ParametricPlot3D[{r Cos[t], r Sin[t], Min[0,-(2^(2/3) (2 \[Pi]-Min[2Pi,3 V((w^2)/(.04))])^(1/3))/\[Pi]^(1/3)]},{r, 0, .00000000001+w+((2^(2/3) (2 \[Pi]-Min[2Pi,3 V((w^2)/(.04))])^(1/3))/\[Pi]^(1/3)-w)/2},{t,0,2Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[1],Hue[a]],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],
ParametricPlot3D[{(1-s/2) Cos[t],(1-s/2) Sin[t],Min[0,s -2 ]},{s,w,2},{t,0, 2 Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[.2],Gray],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],ParametricPlot3D[{(1-s/2) Cos[t],(1-s/2) Sin[t],Max[0,-s + 2 - w]},{s,w,2},{t,0, 2 Pi},PlotStyle->Directive[Opacity[.2],Gray],Mesh->None, Lighting->"Neutral"], 
ParametricPlot3D[{(1-s/2) Cos[t],(1-s/2) Sin[t],Min[0,s-2+ w]},{s,w,Min[2-(2^(2/3) (2 \[Pi]-Min[2Pi,3 V((w^2)/(.04))])^(1/3))/\[Pi]^(1/3)-w,2]},{t,0, 2 Pi},Mesh->None, PlotStyle->Directive[Opacity[1],Hue[a]], Lighting->"Neutral"],  ParametricPlot3D[{(w/2) Cos[t],(w/2) Sin[t], b},{t,0,2Pi}, {b, -2 + w, 0}, PlotStyle->Directive[Opacity[1], Hue[a]],Mesh->None, Lighting->"Neutral"],PlotRange->All,ImageSize->{300,300}, SphericalRegion-> True]},{Row[{Text["time to empty = "], Text[2Pi (.04)/(3w^2)],Text[" seconds"]}]}}],{start,ControlType->None},{end,ControlType->None},
{{V,.01,"time (seconds)"},0.01,34,.01,ControlType->Animator,AnimationRate->1,AnimationRunning->False,ImageSize->Small}, 
{{w,.05,"neck width (millimeters)"}, .05, .3,.01,Appearance->"Labeled"}, 
{{a,0,"color of sand"}, 0, 1,Appearance->"Labeled"}]

资料来源：http ://demonstrations.wolfram.com/FlowTimeInAnHourglass/

Answer 2

如果这是纯粹作为表示层的替代品，那么它实际上取决于模拟的输出和您为其选择的表示。

例如，如果模拟输出一个单一变量（例如一个隔间的体积），那么这可以直接分配给可视化的属性，例如圆柱体“顶”盖的位置。“互补”圆柱体可以位于前一个圆柱体的顶部，其底盖坐标分配给 (totalVolume-lowerCompartmentVolume)。

在这种情况下，可视化只是一个仪表板，不会反馈到模拟中（例如，模拟通常不考虑对象碰撞或接近）。

为了概括这一点，我们正在讨论将一组数量分配给一组可视化属性的解决方案。

从这个角度来看，可以使用 VRML（或 X3D）创建一组复杂的对象，它们的属性可以直接绑定到模拟输出，并且每第 n 个模拟时间步触发一次渲染。

要创建“场景”或可视化对象，您可以使用可以导出 VRML 场景的blender等软件，或者手动编写VRML（这确实是一项简单的任务）。

在基础设施方面，MATLAB 有一个VRML 工具包，Python 有很多可供处理 VRML 的模块（例如，请参阅此链接和此链接）。

举一个更具体的例子：

给定一些模拟输出y和一个模板 VRML 文件，例如：

#VRML V2.0 utf8
Transform {
  translation 0 0 0
  children [
    Shape { geometry Box {2,2,zSize} }
  ]
}

您可以执行以下操作：

data = (Read contents of VRML file as string data).
for n in [0..1000]:
    y = getSimulationOutput(aParameterVector)
    renderData = substitute(data, "zSize", y) #This function could be provided by a template module like jinja for example. 
    simulationFrame = renderVRML(renderData)
    saveImage(simulationFrame)

（请注意：有关 Jinja 的更多信息可以在此处找到- 评论内联链接在上方未正确呈现。）

回到文件中并将不同的元素绑定到不同的数量（例如，更改可以旋转、缩放、平移框的变换，或通过分配不同的颜色来更改框的外观），您可以创建任何类型的“仪表板”为您的模拟输出....包括不规则的六边形。

该技术是数据驱动文档的直接应用，但在此处适用于不同的基板（不同于 HTML 或 SVG）。

希望这可以帮助。

Answer 3

如果您的目标是在 matlab 中可视化这样的六边形，那么fill并且fill3应该做到这一点。这是一个示例代码，它假设您的六边形由两个宽度参数化，并且和w1参数w2是边的长度：d1d2

function draw_hexagon(w1, w2, d1, d2)
    a=(w1-w2)/2;
    b1=sqrt(d1^2 - a^2);
    b2=sqrt(d2^2 - a^2);

    xs=[-w1/2, w1/2, w2/2, w1/2, -w1/2, -w2/2];
    ys=[b1, b1, 0, -b2, -b2, 0];

    fill(xs, ys, 'b')
    axis square 
    grid on
end

它将产生以下内容w1=4, w2=2, d1=2, d2=3：

同样对于 3D：

function draw_hexagon_3d(w1, w2, d1, d2)
    a=(w1-w2)/2;
    b1=sqrt(d1^2 - a^2);
    b2=sqrt(d2^2 - a^2);

    xs=[-w1/2, w1/2, w2/2, w1/2, -w1/2, -w2/2];
    ys=[0, 0, 0, 0, 0, 0];
    zs=[b1, b1, 0, -b2, -b2, 0];

    fill3(xs, ys, zs, 'b')
    grid on
    axis square 
end

我们得到：

Answer 4

尝试设置标准网格库，我认为我们应该从确定自由度开始。

对于具有 2 个嘴的凹对称六边形，它可能是：

1. 口斧宽度（W_m）
2. 相对顶部宽度 (w_t = W_t / W_m)
3. 相对底部宽度 (w_b = W_b / W_m)
4. 相对顶部高度
5. 相对底部高度

Margus 和 A_A 的回答将有助于实现。

Answer 5

我和同事讨论过这个问题。他鼓励创建三角形网络，但也指出了非凸多边形的通用算法。

通过自己的算法创建网格

1. 如问题正文所示，用虚线将六边形分成两个梯形
2. 将梯形划分为三角形：assemmbly并通过以下方式构建三网格结构inittri
3. 负载向量f是由构建的bilin_assembly（因为这在以前有效但不一定是最佳选择）

把有两个嘴的六边形分成两个梯形

1. 取六个节点中索引差为三且距离最小的两个节点。
2. 形成两个梯形，其中一个梯形的数字为 1-4，而另一个梯形的数字为 1,6,5,4。

以下语法基于我在 2013 年的代码版本，但主要基于Claes Johnson的有限元方法的偏微分方程数值解一书的描述。

为简单起见，现在考虑的汇编语法是泊松问题（稍后必须在此处细化）

% [S,f]=assemblyGlobal(loadfunction,mesh)
%
%   loadfunction = function on the right-hand side of the Poisson equation
%   mesh         = mesh structure on which the assembly is done
%
%   S            = stiffness matrix of the Poisson problem
%   f            = load vector corresponding to loadfunction

我们需要双线性汇编的地方是哪种语法

% function B=bilin_assembly(bilin,mesh)
%
%  bilin = function handle to integrand of the bilinear form
%          given as bilin(u,v,ux,uy,vx,vy,x,y), where
%          u  - values of function u
%          v  - values of function v
%          ux - x-derivative of function u
%          uy - y-derivative of function u
%          vx - x-derivative of function v
%          vy - y-derivative of function v
%          x  - global x-coordinate
%          y  - global y-coordinate
%  mesh  = mesh structure on which the matrix will be assembled
%
%  B     = matrix related to bilinear form bilin

初始化三角网格的语法

% function mesh = inittri(p,t)
%
%   p       = nodes
%   t       = triangles
%     
%   mesh    = trimesh structure corresponding to (p,t)
%
% TRIMESH STRUCTURE :
% 
%   p       = nodes in a 2xN-matrix
%
%   t       = triangles in a 3xN- matrix (nodes of the triangles as indeces to the p- matrix).
% 
%   edges   = a matrix of all edges in the mesh. Each column is an edge :
%             [n1 ; n2] where n1 < n2;
%
%   t2e     = a matrix connecting  triangle's and edges's. 
%             Each column corresponds to a triangle and has
%             triangle's edges in the order n1->n2, n2->n3,
%             n1->n3. 
%
%   e2t     = inverse of t2e.

由于版权问题，我没有在这里发布完整的源代码，他们会使答案相当长。但是，所有算法都基于第一个来源，因此任何研究人员都可以在这里创建。我认为这种 FEM 方法是在这里找到最佳网格的唯一方法。

一般非凸多边形的算法

还有一些算法可以为一般的非凸多边形创建网格。Margus 的答案提供的网格可能是由这种算法产生的。

Ansys

我体验了关于可视化孔洞、不同几何形状和不同材料的不同产品。 Ansys是有前途的解决方案。

来源

1. Claes Johnson用有限元法计算偏微分方程的数值解。
2. 2013-2014我大学有限元方法课堂笔记