I want to further my real world semi definite programming optimization problem with a constraint on sum of absolute values. For example:
abs(x1) + abs(x2) + abs(x3) <= 10.
I have searched internet and documentation but could not find a way to represent this. I am using python and cvxopt module.
作为 Warren 解决方案的替代方案，该解决方案涉及 n 个绝对值项之和的 2^n 个约束，可以引入 n 个额外变量 y1, y2, ..., yn 并写出以下 n 对不等式
-y1 <= x1 <= y1
-y2 <= x2 <= y2
...
-yn <= xn <= yn
其中，结合一个单一的平等
y1+y2+...+yn = 10
等价于原始约束
abs(x1) + abs(x2) + ... + abs(xn) <= 10
总成本：n 个新变量和 2n+1 个线性约束。
您的约束等效于以下八个约束：
x1 + x2 + x3 <= 10
x1 + x2 - x3 <= 10
x1 - x2 + x3 <= 10
x1 - x2 - x3 <= 10
-x1 + x2 + x3 <= 10
-x1 + x2 - x3 <= 10
-x1 - x2 + x3 <= 10
-x1 - x2 - x3 <= 10
我没用过cvxopt，所以我不知道是否有更简单的方法来处理你对那个包的约束。例如，您的约束等价于|x|_1 <= 10，其中|x|_1是 的 1-范数x。
我也看到了变化：
x₁ = x₁⁺ - x₁⁻
x₂ = x₂⁺ - x₂⁻
…
xₙ = xₙ⁺ - xₙ⁻
和
x₁⁺, x₁⁻ ≥ 0
x₂⁺, x₂⁻ ≥ 0
…
xₙ⁺, xₙ⁻ ≥ 0
和
(x₁⁺ + x₁⁻) + (x₂⁺ + x₂⁻) + … + (xₙ⁺ + xₙ⁻) ≤ 10
成本：额外的 2N 个变量，N 个等式约束 + 2N+1 个不等式约束。比@fanfan 的要多得多，但还有其他好处。
xₖ⁺ 和 xₖ⁻ 可用于目标函数，以惩罚 xₖ 的绝对值或对 xₖ 的正负部分给予不同的惩罚。这些松弛变量有时用于表示交易成本，例如，
max theta'mu - lambda/2 theta'Sigma theta -TC(买+卖)
theta = theta0+买卖
买，卖>=0
并在需要时允许 TC 中的不对称。