matlab - Matlab 或 Mathematica：需要帮助计算未知命名分布和正态随机变量之和的 Pdf

Question

是否可以应用卷积定理或 Mathematica 等软件来找到 pdf 的封闭形式表达式，Z = R + X其中f_R(r;k,d) = kdr^(d-1)(1-r^d)^(k-1)和X是未知方差的零均值高斯 rv。r ~ [0,1]并且 pdff_R(r;k,d)与绘制一个距离的点的概率r乘以绘制k-1距离的点的概率有关> r。

我不知道如何在 Mathematica 或 Matlab 中指定未知分布，如果它需要用于在分析上难以/不可能的情况下计算封闭形式的表达式。

在 Mathematica 中，我们可以使用现有的命名分布，NormalDistribution[mu, std]但如何使用f_R(r;k,d)？

Answer 1

如果我是正确的，对于k和d正整数，卷积积分可以用已知的标准正态分布的矩表示（例如参见此处）。

让f(r)表示标准的普通 pdf，让h(r)表示问题中的另一个 pdf，

.

用二项式定理扩展项 (1- r ^d ) ^{k -1}，g ( r ) 可以表示为br ^s形式的项之和，其中如果k和d是整数，则s是整数。让f和g的卷积表示为h：

该积分可以表示为以下形式的项之和

乘以常数（“常数”是指不依赖于积分变量的术语，因此可以移出积分）。再次展开 ( r - t ) ^s给出形式为r ^m · t ⁿ的项。所以积分可以表示为项的总和

乘以常数。这些项由正态分布的矩给出。